Dentro de uma região no espaço livre, a densidade de carga é dada por:
onde
e
são constantes.
Calcular a carga total dentro de uma esfera
;
Calcular a carga total dentro de uma esfera
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que dentro de uma esfera de raio
a densidade volumétrica de carga é
com
e
constantes. A matéria aqui é eletrostática básica: a gente vai usar a definição de carga total como integral tripla da densidade num volume, em coordenadas esféricas. Pra isso, precisamos lembrar que o elemento de volume em esféricas é
Passo 2
Começamos escrevendo a carga total
como
Aqui só substituímos
e o
na integral, e os limites são
,
,
.
Passo 3
Agora separamos em produtos de integrais (porque tudo é produto de funções de variáveis diferentes):
Mas mais fácil ainda: note que a parte angular fica
Passo 4
Calculemos essas integrais angulares:
-
-
.- Use substituição
, . - Então é
porque e . - Isso dá zero direto.
- Use substituição
Se a parte angular já é zero, não importa o resto (o resultado vai ser zero vezes qualquer coisa).
Resposta
Q = 0 C.