Dentro de uma região no espaço livre, a densidade de carga é dada por:
rhov=rho0 r cos thetaa C / m^3
onde rho0 e a são constantes.
Calcular a carga total dentro de uma esfera r <= a;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que dentro de uma esfera de raio a a densidade volumétrica de carga é
rhov = rho0,rcosthetaa(C/m^3),
com rho0 e a constantes. A matéria aqui é eletrostática básica: a gente vai usar a definição de carga total como integral tripla da densidade num volume, em coordenadas esféricas. Pra isso, precisamos lembrar que o elemento de volume em esféricas é
dV = r^2sintheta;dr,dtheta,dphi

Passo 2

Começamos escrevendo a carga total Q como
Q ;=;integral triplaV rhov,dV ;=;integralphi=0^2pi!!integraltheta=0^pi!!integralr=0^a l(rho0,rcosthetaar),(r^2sintheta);dr,dtheta,dphi
Aqui só substituímos rhov e o dV na integral, e os limites são rin[0,a], thetain[0,pi], phiin[0,2pi].

Passo 3

Agora separamos em produtos de integrais (porque tudo é produto de funções de variáveis diferentes):
Q = rho0a l[!integral0^2pidphir] l[!integral0^pi!rcostheta,(r^2sintheta)|r fixo,dthetar] l[!integral0^ar^2|theta fixo,drr]
Mas mais fácil ainda: note que a parte angular fica
integral0^2pidphi;times;integral0^picosthetasintheta,dtheta

Passo 4

Calculemos essas integrais angulares:
  1. .
    • Use substituição , .
    • Então é porque e .
    • Isso dá zero direto.
Se a parte angular já é zero, não importa o resto (o resultado vai ser zero vezes qualquer coisa).

Resposta

Q = 0 C.

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