A 20^{\circ} \mathrm{C}, o nível de um determinado líquido no interior de um tubo de vidro cilíndrico, mantido na posição vertical, é de 40 cm . Qual será o nível do líquido quando a temperatura for elevada para 80^{\circ} \mathrm{C} ? O coeficiente de dilatação linear do vidro é de 9 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1}, e o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido é 4 \times 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá um tubo cilíndrico de vidro, na vertical, contendo líquido até a altura inicial h_{1}=40 cm à temperatura T_{1}=20^\circ\mathrm{C}. Ao passar para T_{2}=80^\circ\mathrm{C} ( \Delta T=60 K), o vidro se dilata linearmente com coeficiente \alpha=9\times10^{-6}\,\mathrm{K}^{-1} e o líquido se dilata volumetricamente com coeficiente \beta=4\times10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}. Precisamos encontrar a nova altura h_{2} do líquido.

Passo 2

A dilatação volumétrica do líquido faz o seu volume passar de
V_{1}=A_{1}\,h_{1}
para
V_{2}=V_{1}\,\bigl(1+\beta\,\Delta T\bigr) =A_{1}\,h_{1}\,\bigl(1+\beta\,\Delta T\bigr),
onde A_{1} é a área da secção interna do tubo à temperatura inicial.

Passo 3

A dilatação do vidro altera a área da secção interna do tubo de A_{1} para
A_{2}=A_{1}\,\bigl(1+2\,\alpha\,\Delta T\bigr),
pois em um cilindro a área transversa cresce com o dobro do coeficiente linear.

Passo 4

A nova altura h_{2} do líquido satisfaz
V_{2}=A_{2}\,h_{2} \;\Longrightarrow\; h_{2} =\frac{V_{2}}{A_{2}} =\frac{A_{1}\,h_{1}\,\bigl(1+\beta\,\Delta T\bigr)} {A_{1}\,\bigl(1+2\,\alpha\,\Delta T\bigr)} =h_{1}\,\frac{1+\beta\,\Delta T}{1+2\,\alpha\,\Delta T}.
Substituindo os valores:
1+\beta\,\Delta T =1+4\times10^{-5}\times60=1{,}0024, \quad 1+2\,\alpha\,\Delta T =1+2\times9\times10^{-6}\times60=1{,}00108,
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h_{2} =40\;\mathrm{cm}\times\frac{1{,}0024}{1{,}00108} \approx40{,}05\;\mathrm{cm}.

Resposta

h_{2}\approx40{,}05 cm

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