Dentro do volume definido por
existe a densidade de corrente
. Determine: (b) a corrente total que sai de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a corrente total que sai de um volume cúbico $ V $ definido por $ 0 \leq x \leq 1 $, $ 0 \leq y \leq 1 $, e $ 0 \leq z \leq 1 $. A densidade de corrente é dada por $ \bar{J} = 2x^{2} \bar{a}{x} + y z \bar{a}{y} + 5z \bar{a}_{z} $ (em mA/m²). Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e a teoria da corrente elétrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a corrente total que sai do volume $ V $, precisamos calcular a integral de superfície da densidade de corrente $ \bar{J} $ sobre todas as faces do cubo. Matematicamente, isso é representado por:
onde $ \bar{n} $ é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos dividir a integral em seis partes, correspondentes às seis faces do cubo:
- Face $ x = 0 $
- Face $ x = 1 $
- Face $ y = 0 $
- Face $ y = 1 $
- Face $ z = 0 $
- Face $ z = 1 $
Para cada face, calcularemos $ \bar{J} \cdot \bar{n} $ e integraremos sobre a área da face.
Passo 4
1. Face $ x = 0 $:
- O vetor normal $ \bar{n} = -\bar{a}_{x} $ (aponta para fora do cubo).
- $ \bar{J} = 2(0)^{2} \bar{a}{x} + y z \bar{a}{y} + 5z \bar{a}{z} = y z \bar{a}{y} + 5z \bar{a}_{z} $.
- Produto escalar $ \bar{J} \cdot \bar{n} = 0 $ (porque $ \bar{J} $ não tem componente em $ \bar{a}_{x} $ aqui).
- Portanto, a corrente através desta face é 0.
2. Face $ x = 1 $:
- O vetor normal $ \bar{n} = \bar{a}_{x} $.
- $ \bar{J} = 2(1)^{2} \bar{a}{x} + y z \bar{a}{y} + 5z \bar{a}{z} = 2 \bar{a}{x} + y z \bar{a}{y} + 5z \bar{a}{z} $.
- Produto escalar $ \bar{J} \cdot \bar{n} = 2 $.
- A área da face é 1 (pois é um cubo unitário).
- Corrente $ I_{x=1} = 2 \times 1 = 2 , mA $.
3. Face $ y = 0 $:
- O vetor normal $ \bar{n} = -\bar{a}_{y} $.
- $ \bar{J} = 2x^{2} \bar{a}{x} + 0 \bar{a}{y} + 5z \bar{a}{z} = 2x^{2} \bar{a}{x} + 5z \bar{a}_{z} $.
- Produto escalar $ \bar{J} \cdot \bar{n} = 0 $.
- Corrente através desta face é 0.
4. Face $ y = 1 $:
- O vetor normal $ \bar{n} = \bar{a}_{y} $.
- $ \bar{J} = 2x^{2} \bar{a}{x} + x \cdot z \bar{a}{y} + 5z \bar{a}_{z} $.
- Produto escalar $ \bar{J} \cdot \bar{n} = x z $.
- Integramos $ x z $ sobre $ x $ e $ z $ de 0 a 1:
5. Face $ z = 0 $:
- O vetor normal $ \bar{n} = -\bar{a}_{z} $.
- $ \bar{J} = 2x^{2} \bar{a}{x} + y \cdot 0 \bar{a}{y} + 0 \bar{a}{z} = 2x^{2} \bar{a}{x} $.
- Produto escalar $ \bar{J} \cdot \bar{n} = 0 $.
- Corrente através desta face é 0.
6. Face $ z = 1 $:
- O vetor normal $ \bar{n} = \bar{a}_{z} $.
- $ \bar{J} = 2x^{2} \bar{a}{x} + y \cdot 1 \bar{a}{y} + 5 \cdot 1 \bar{a}{z} = 2x^{2} \bar{a}{x} + y \bar{a}{y} + 5 \bar{a}{z} $.
- Produto escalar $ \bar{J} \cdot \bar{n} = 5 $.
- A área da face é 1.
- Corrente $ I_{z=1} = 5 \times 1 = 5 , mA $.
Passo 5
Agora, somamos todas as contribuições das faces:
Resposta
A corrente total que sai do volume $ V $ é 7,25 mA.