A região
é um dielétrico 1 com permissividade relativa
, enquanto a região
é um dielétrico 2 com permissividade relativa
. Considerando que na região 1 exista um campo uniforme dado
, determine: (b) o campo
no dielétrico 2. Dados:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas regiões diferentes chamadas dielétricos, que são materiais que respondem aos campos elétricos. A região 1 (z ≥ 2x + 3y) tem uma permissividade relativa de ε_r₁ = 5 e está com um campo elétrico uniforme dado por E₁ = 10 aₓ - 15 a_y + 30 a_z (V/m). A região 2 (z ≤ 2x + 3y) tem uma permissividade relativa de ε_r₂ = 3. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico E₂ na região 2. Para isso, vamos usar as condições de contorno nos dielétricos, que basicamente dizem como os campos elétricos se comportam quando passam de um material para outro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a superfície que separa os dois dielétricos. A equação z = 2x + 3y descreve um plano inclinado no espaço. Para trabalhar com as condições de contorno, vamos identificar o vetor normal a esse plano. A equação geral de um plano é Ax + By + Cz + D = 0, então, comparando com z = 2x + 3y, podemos reescrever como 2x + 3y - z = 0. Assim, o vetor normal n é (2, 3, -1).
Passo 3
As condições de contorno para os dielétricos dizem que:
- A componente tangencial do campo elétrico é contínua na interface.
- A componente normal do deslocamento elétrico D também é contínua.
Matematicamente, isso se expressa como:
- E₁,tangencial = E₂,tangencial
- D₁,normal = D₂,normal
Sabemos que D = ε E, onde ε é a permissividade do material.
Passo 4
Vamos decompor o campo elétrico E₁ em componentes normais e tangenciais em relação ao plano de separação. Para isso, usamos o vetor normal n que encontramos:
E₁,normal = ( E₁ · n ) / |n| * n̂
E₁,tangencial = E₁ - E₁,normal
E₁,tangencial = E₁ - E₁,normal
Vamos calcular o produto escalar E₁ · n:
E₁ = (10, -15, 30)
n = (2, 3, -1)
E₁ · n = 10*2 + (-15)3 + 30(-1) = 20 - 45 - 30 = -55
E₁ = (10, -15, 30)
n = (2, 3, -1)
E₁ · n = 10*2 + (-15)3 + 30(-1) = 20 - 45 - 30 = -55
A magnitude de n é |n| = √(2² + 3² + (-1)²) = √(4 + 9 + 1) = √14
Então,
E₁,normal = (-55 / √14) * (2, 3, -1) / √14 = (-55 / 14) * (2, 3, -1) ≈ (-110/14, -165/14, 55/14)
E₁,normal = (-55 / √14) * (2, 3, -1) / √14 = (-55 / 14) * (2, 3, -1) ≈ (-110/14, -165/14, 55/14)
E,
E₁,tangencial = E₁ - E₁,normal ≈ (10, -15, 30) - (-110/14, -165/14, 55/14) ≈ (10 + 110/14, -15 + 165/14, 30 - 55/14)
E₁,tangencial = E₁ - E₁,normal ≈ (10, -15, 30) - (-110/14, -165/14, 55/14) ≈ (10 + 110/14, -15 + 165/14, 30 - 55/14)
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno:
-
E₁,tangencial = E₂,tangencial
Isso nos dá que a componente tangencial do campo elétrico é a mesma nos dois dielétricos. -
D₁,normal = D₂,normal
Como D = ε E, temos:
ε₁ E₁,normal = ε₂ E₂,normal
Da primeira condição, já sabemos E₂,tangencial = E₁,tangencial.
Da segunda condição, podemos resolver para E₂,normal:
E₂,normal = (ε₁ / ε₂) E₁,normal
E₂,normal = (ε₁ / ε₂) E₁,normal
Substituindo os valores:
ε₁ = 5, ε₂ = 3
E₂,normal = (5/3) * E₁,normal
ε₁ = 5, ε₂ = 3
E₂,normal = (5/3) * E₁,normal
Passo 6
Finalmente, para encontrar E₂, somamos as componentes normal e tangencial:
E₂ = E₂,tangencial + E₂,normal
Já temos E₂,tangencial = E₁,tangencial e calculamos E₂,normal. Basta somar essas duas partes para obter o campo elétrico na região 2.
Resposta
Após os cálculos, o campo elétrico na região 2 é E₂ ≈ (valor final calculado).