Dentro do volume definido por V=0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1 existe a densidade de corrente barJ=4 x^2 barax+3 y z baray+5 z baraz(mA / m^2). Determine: (b) a corrente total que sai de V.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos um volume cúbico definido por $ V = {0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq 1,\ 0 \leq z \leq 1} $ onde a densidade de corrente é dada por $ \bar{J} = 4x^{2}\ \bar{a}{x} + 3yz\ \bar{a}{y} + 5z\ \bar{a}_{z} $ (mA/m²). O objetivo é determinar a corrente total que sai de $ V $.
Conteúdo da Matéria: Vamos trabalhar com densidade de corrente e utilizar o teorema da divergência (ou teorema de Gauss) para calcular a corrente total que atravessa a superfície que delimita o volume $ V $.
O que Precisamos para Resolver: Precisaremos entender o que é densidade de corrente, como calcular a divergente de um campo vetorial e aplicar o teorema da divergência para transformar uma integral de superfície em uma integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente $ \bar{J} $ representa a quantidade de carga elétrica que passa por uma área por unidade de tempo. Para encontrar a corrente total que sai do volume $ V $, precisamos calcular o fluxo de $ \bar{J} $ através da superfície que envolve $ V $.

Passo 3

Em vez de calcular o fluxo através de cada face do cubo individualmente, podemos usar o teorema da divergência. Esse teorema facilita nosso trabalho ao converter a integral de superfície do fluxo de $ \bar{J} $ em uma integral de volume da divergente de $ \bar{J} $.
Matematicamente, o teorema da divergência é dado por:
barJ
Onde:
  • $ S $ é a superfície que delimita o volume $ V $.
  • $ d\bar{S} $ é o vetor área infinitesimal na superfície.
  • $ \nabla \cdot \bar{J} $ é a divergente de $ \bar{J} $.

Passo 4

Vamos calcular a divergente de $ \bar{J} $. A divergente de um campo vetorial $ \bar{J} = J_x \bar{a}_x + J_y \bar{a}_y + J_z \bar{a}_z $ é dada por:
barJ
Substituindo as componentes de $ \bar{J} $:
barJ = Jx barax + Jy baray + Jz baraz
Calculando cada derivada:
nabla cdot barJ = partial Jxpartial x + partial Jypartial y + partial Jzpartial z
barJ
Jx = 4x^2, Jy = 3yz, Jz = 5z
Portanto, a divergente de $ \bar{J} $ é:
partial Jxpartial x = partialpartial x(4x^2) = 8x

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergente de $ \bar{J} $ sobre o volume $ V $:
barJ
Como o volume $ V $ é um cubo com $ x $, $ y $, $ z $ variando de 0 a 1, podemos escrever a integral tripla como:
V

Passo 6

Observando que a expressão a ser integrada não depende de $ y $, podemos simplificar a integral em $ y $:
y
Portanto, a integral se reduz a:
y

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a $ x $:
x

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a $ z $:
z

Resposta

A corrente total que sai de $ V $ é 10,5 mA.

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