Dentro do volume definido por
existe a densidade de corrente
. Determine: (b) a corrente total que sai de
.
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos um volume cúbico definido por $ V = {0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq 1,\ 0 \leq z \leq 1} $ onde a densidade de corrente é dada por $ \bar{J} = 4x^{2}\ \bar{a}{x} + 3yz\ \bar{a}{y} + 5z\ \bar{a}_{z} $ (mA/m²). O objetivo é determinar a corrente total que sai de $ V $.
Conteúdo da Matéria: Vamos trabalhar com densidade de corrente e utilizar o teorema da divergência (ou teorema de Gauss) para calcular a corrente total que atravessa a superfície que delimita o volume $ V $.
O que Precisamos para Resolver: Precisaremos entender o que é densidade de corrente, como calcular a divergente de um campo vetorial e aplicar o teorema da divergência para transformar uma integral de superfície em uma integral de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente $ \bar{J} $ representa a quantidade de carga elétrica que passa por uma área por unidade de tempo. Para encontrar a corrente total que sai do volume $ V $, precisamos calcular o fluxo de $ \bar{J} $ através da superfície que envolve $ V $.
Passo 3
Em vez de calcular o fluxo através de cada face do cubo individualmente, podemos usar o teorema da divergência. Esse teorema facilita nosso trabalho ao converter a integral de superfície do fluxo de $ \bar{J} $ em uma integral de volume da divergente de $ \bar{J} $.
Matematicamente, o teorema da divergência é dado por:
Onde:
- $ S $ é a superfície que delimita o volume $ V $.
- $ d\bar{S} $ é o vetor área infinitesimal na superfície.
- $ \nabla \cdot \bar{J} $ é a divergente de $ \bar{J} $.
Passo 4
Vamos calcular a divergente de $ \bar{J} $. A divergente de um campo vetorial $ \bar{J} = J_x \bar{a}_x + J_y \bar{a}_y + J_z \bar{a}_z $ é dada por:
Substituindo as componentes de $ \bar{J} $:
Calculando cada derivada:
Portanto, a divergente de $ \bar{J} $ é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergente de $ \bar{J} $ sobre o volume $ V $:
Como o volume $ V $ é um cubo com $ x $, $ y $, $ z $ variando de 0 a 1, podemos escrever a integral tripla como:
Passo 6
Observando que a expressão a ser integrada não depende de $ y $, podemos simplificar a integral em $ y $:
Portanto, a integral se reduz a:
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a $ x $:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a $ z $:
Resposta
A corrente total que sai de $ V $ é 10,5 mA.