Do topo de um edifício alto, você joga uma bola, b1, de baixo para cima com velocidade v0 e outra bola, b2, de cima para baixo com velocidade v0.
a) Qual das bolas possui maior velocidade ao atingir o chão?
R. As duas bolas terão a mesma velocidade.
b) Qual das bolas chega primeiro ao chão?
R. a bola b1
c) Qual das bolas possui maior deslocamento ao atingir o chão?
R. ambas possuem o mesmo deslocamento
d) Qual das bolas percorreu a maior distância ao atingir o chão?
R. a bola b2

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e que conteúdos vamos usar.
Você tem um prédio de altura y(t) ;=; y0 ;+; v0,t ;-;tfrac12,g,t^2 . Do topo, lançamos duas bolinhas com a mesma velocidade inicial v^2 ;=; v0^2 ;-;2,g,De:
  • : pra cima (+)
  • : pra baixo (–)
Conteúdo: cinemática do movimento uniformemente acelerado (gravidade , sem resistência do ar).
Fórmulas-chave:
  1. Equação horária do espaço (eixo vertical, sentido para cima como positivo):
  1. Equação de Torricelli (liga velocidade, aceleração e deslocamento):
O chão fica a uma distância abaixo do ponto de lançamento.
A partir do Passo 2 vamos resolver cada item.

Passo 2

(a) “Qual das bolas tem maior velocidade ao atingir o chão?”
Aplicamos Torricelli. Para ambas, o deslocamento total em módulo é v^2 = v0^2 ;-;2,g,(-H) ;=;v0^2 + 2,g,H . Como cada uma parte com velocidade inicial boxedv1 = v2 = raizv0^2 + 2gH , temos:
Note que o sinal do inicial some ao elevar ao quadrado. Logo, ambas chegam ao chão com a mesma velocidade em módulo:

Passo 3

(b) “Qual chega primeiro ao chão?”
Agora usamos a equação horária -,H = 0 + v0,t1 - tfrac12,g,t1^2 ;longrightarrow; tfrac12,g,t1^2 - v0,t1 - H = 0 . Tomando t1 = v0 + raizv0^2 + 2gHg no topo e definindo o chão em -,H = 0 - v0,t2 - tfrac12,g,t2^2 ;longrightarrow; tfrac12,g,t2^2 + v0,t2 - H = 0, :
– Para t2 = -,v0 + raizv0^2 + 2gHg (inicialmente pra cima, t2 < t1 ):
Solução positiva:
– Para (inicialmente pra baixo, toma-se ):
Comparando: dentro da raiz é o mesmo, mas em somamos e em subtraímos. Portanto
Concluímos que a bolinha lançada para baixo ( ) chega primeiro.

Passo 4

© “Qual deslocamento ao atingir o chão?”
Deslocamento vetorial é simplesmente do topo ao chão, isto é , para ambas. Em módulo, .
Logo, empate no deslocamento.

Passo 5

(d) “Quem percorreu a maior distância?”
Distância total é quanto o objeto efetivamente viajou, desprezando sinal.
  • sai do topo e vai direto para baixo até o chão:
    Distância = .
  • primeiro sobe até parar, depois desce até o chão.
    • Altura extra que sobe: use Torricelli até :
    • Depois desce do ponto mais alto até o chão: é .
    Distância total
Claramente . Então percorre mais caminho.

Resposta

a) Mesma velocidade final:
b) Chega primeiro: bola .
c) Mesmo deslocamento vetorial: .
d) Maior distância percorrida: bola .

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