A região z >= a x+b y é um dielétrico 1 com permissividade relativa varepsilonr 1=2,8 enquanto a região z <= a x+b y é um dielétrico 2 com permissividade relativa varepsilonr 2=5,6. Considerando que na região 1 exista um campo uniforme dado barE1=12 barax-10 baray+15 baraz(V / m), determine: (a) O ângulo que barE1 faz com a interface entre os dielétricos. Dados: a=3 e b=8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre duas regiões dielétricas separadas por uma interface definida pela equação $ z = 3x + 8y $. Na região acima dessa interface (Região 1), temos um campo elétrico uniforme $ \bar{E}_1 = 12,\bar{a}_x - 10,\bar{a}_y + 15,\bar{a}_z $ V/m, e queremos descobrir o ângulo que esse campo faz com a própria interface. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e geometria espacial, especialmente como calcular o ângulo entre um vetor e um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a interface que separa as duas regiões dielétricas. A equação $ z = 3x + 8y $ representa um plano no espaço. Para encontrar o ângulo que o campo elétrico faz com esse plano, precisamos identificar a normal (perpendicular) a esse plano.
A normal a um plano dado por $ z = ax + by $ é o vetor $ \vec{n} = (-a, -b, 1) $. No nosso caso, $ a = 3 $ e $ b = 8 $, então a normal fica:
z = 3x + 8y

Passo 3

Agora que temos a normal ao plano, vamos lembrar que o ângulo entre o vetor do campo elétrico $ \bar{E}_1 $ e a normal $ \vec{n} $ pode ser encontrado usando o produto escalar. A fórmula para o ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $ é:
barE1
Então, vamos calcular o produto escalar entre $ \bar{E}_1 $ e $ \vec{n} $, além das magnitudes de cada vetor.

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto escalar $ \bar{E}_1 \cdot \vec{n} $:
barE1 cdot n
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
barE1 cdot n = (12)(-3) + (-10)(-8) + (15)(1) = -36 + 80 + 15 = 59
|barE1| = raiz12^2 + (-10)^2 + 15^2 = raiz144 + 100 + 225 = raiz469 approx 21,66, V/m

Passo 5

Com esses valores, podemos encontrar o cosseno do ângulo $ \theta $:
theta
Agora, para encontrar o ângulo $ \theta $, usamos a função arco cosseno:
cos(theta) = 5921,66 times 8,60 approx 59186 approx 0,3172

Passo 6

Mas atenção! Esse é o ângulo entre o campo elétrico e a normal ao plano. O que queremos é o ângulo entre o campo e o próprio plano.
Sabemos que a soma dos ângulos entre um vetor e a normal e entre o vetor e o plano é $ 90^\circ $. Portanto, o ângulo $ \phi $ que o campo elétrico faz com a interface é:
90^circ

Resposta

O ângulo que o campo elétrico $ \bar{E}_1 $ faz com a interface entre os dielétricos é aproximadamente 18,4 graus.

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