Dentro do volume definido por V=0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1 existe a densidade de corrente barJ=4 x^2 barax+3 y z baray+5 z baraz(mA / m^2). Determine: (a) O fluxo de corrente que sai do volume V pela superficie z=1 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cubo onde cada lado vai de 0 a 1 metro nas direções x, y e z. Dentro desse cubo, a densidade de corrente é dada por barJ = 4x^2barax + 3yzbaray + 5zbaraz (em mA/m²). A gente precisa encontrar o fluxo de corrente que sai do cubo pela superfície onde z = 1 metro. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de fluxo de vetores, especificamente a integração da componente da corrente perpendicular à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo de corrente. O fluxo de corrente através de uma superfície é basicamente uma medida de quanta corrente está passando por essa superfície. Para uma superfície plana como z = 1, precisamos considerar apenas a componente da corrente que está na direção perpendicular a essa superfície.

Passo 3

No nosso caso, a superfície z = 1 está perpendicular ao eixo z. Então, vamos olhar apenas a componente Jz da densidade de corrente barJ. A componente Jz é 5z, conforme a equação dada.

Passo 4

Como a superfície está em z = 1 metro, substituímos z por 1 na expressão de Jz. Assim, Jz = 5 times 1 = 5 mA/m².

Passo 5

Agora, para encontrar o fluxo de corrente, precisamos integrar Jz sobre a área da superfície z = 1. A área dessa superfície é um quadrado com lados de 1 metro, então a área A = 1 times 1 = 1 m².

Passo 6

O fluxo de corrente Phi é dado por:
Phi = integral duplaA Jz , dA
Como Jz = 5 mA/m² e dA = 1 m², a integração fica simples:
Phi = 5 times 1 = 5 , mA

Resposta

O fluxo de corrente que sai do volume V pela superfície z=1 metro é de 5 mA.

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