O departamento de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe, via telefone, as reclamações dos clientes. O número diário de chamadas dos últimos 30 dias foram anotados e os resultados foram:
3,4,5,4,4,5,6,9,4,4,5,6,4,3,6,7,5,4,4,5,7,8,8,5,7,5,4,5,7 e 6
fornecendo a seguinte tabela de frequência.
x n n ac
3 2 2
4 9 11
5 8 19
6 4 23
7 4 27
8 2 29
9 1 30
30
Média 5,3 R
Com base nesses dados, o analista propõe que o número de chamadas diárias segue o modelo de Poisson. Calcule cada probabilidade da distribuição de Poisson para esse problema utilizando a média dada e compare com a frequência relativa dos dados observados. Em seguida, decida se a hipótese deste analista se confirma de fato ou não.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que em 30 dias anotaram quantas chamadas chegaram num atendimento e têm a tabela de frequência de 3 a 9 chamadas. O analista acha que esses dados seguem a distribuição de Poisson com média lambda=5,3. A tarefa é:
  • usar a média dada como lambda,
  • calcular as probabilidades de Poisson P(X=x)=e^-lambda,lambda^xx! para x=3,4,dots,9,
    - comparar cada P(X=x) com a frequência relativa observada n/30,
    - e ver se o modelo de Poisson “encaixa” bem nos dados.
Conteúdo que vamos usar: distribuição de Poisson, média amostral, cálculo de e^-lambda, fatoriais e frequência relativa.

Passo 2

Antes de mais nada, recapitula a Poisson. Se XsimPoisson(lambda), então
P(X=x)=e^-lambda,lambda^xx!,, x=0,1,2,dots
Aqui já sabemos lambda=5,3 (média amostral). Vamos precisar de e^-5,3 e dos fatoriais de 3 até 9.

Passo 3

Calcula primeiro e^-5,3.
Usando uma calculadora:
e^-5,3approx 0,004992,

Passo 4

Agora, pra cada x=3,dots,9, fazemos
P(X=x)=0,004992;5,3^xx!,, fobs(x)=n30,
Vamos arredondar tudo com 3 casas decimais:
x P(X=x) Poisson n/30 (obs)
3 0,004992cdot5,3^3/3!approx0,124 2/30=0,067
4 0,004992cdot5,3^4/4!approx0,164 9/30=0,300
5 0,004992cdot5,3^5/5!approx0,174 8/30=0,267
6 0,004992cdot5,3^6/6!approx0,154 4/30=0,133
7 0,004992cdot5,3^7/7!approx0,117 4/30=0,133
8 0,004992cdot5,3^8/8!approx0,077 2/30=0,067
9 0,004992cdot5,3^9/9!approx0,045 1/30=0,033
Dá pra ver que, por exemplo, em x=4,5 o Poisson dá muito menos probabilidade do que a turma observou; em x=3,6,7 também tem diferença razoável.

Passo 5

Se o modelo estivesse bom, as colunas de P(X=x) e n/30 iam ficar bem parecidas. Mas as discrepâncias são grandes no meio da distribuição (4 e 5 chamadas). Logo o ajuste não é satisfatório.

Resposta

A hipótese de que o número de chamadas diárias segue Poisson (lambda=5,3) não se confirma, pois as probabilidades teóricas divergem demais das frequências relativas observadas.

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