Um sistema de controle de voo de naves espaciais, chamado PASS (Primary Avionics Software Set), usa quatro computadores independentes trabalhando em paralelo. Em cada etapa crítica, os computadores votampara determinar a etapa apropriada. A probabilidade de um computador mandar girar para a esquerda quando o giro para a direita seria o apropriado é de 0,001 . Seja X o número de computadores que escolhem o giro para a esquerda quando o giro para a direita seria o apropriado .
Escreva a função de probabilidade X ? Calcule as probabilidades de todos os valores.

Passo 1

Beleza, vamos dar um resumão do que o enunciado pede. Temos um sistema com 4 computadores que votam ao mesmo tempo, cada um pode dar um “erro” (girar pra esquerda) quando o correto seria girar pra direita. A chance de erro de cada computador é P(X=k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k , e os erros são independentes. Definimos a variável aleatória como o número de computadores que erram (girando pra esquerda).
Conteúdo da matéria: Distribuição binomial.
O que vamos precisar:
  1. Entender que .
  2. Saber usar a fórmula

Passo 2

Teoria rapidinha de binomial: quando você tem P(X=k) =binomnk,p^k,(1-p)^n-k, tentativas independentes, cada uma com chance de “sucesso” (no nosso caso “erro”), a probabilidade de ocorrer exatamente sucessos é
onde
.
Aqui e .

Passo 3

Vamos escrever a função de probabilidade de P(X=k) =binom4k,(0,001)^k,(0,999)^4-k, k=0,1,2,3,4 no nosso caso:

Passo 4

Agora é só calcular para cada P(X=0)=binom40(0,001)^0(0,999)^4 =1cdot1cdot(0,999)^4 approx0,996006 :
  1. P(X=1)=binom41(0,001)^1(0,999)^3 =4cdot0,001cdot(0,999)^3 approx0,003988 :
P(X=2)=binom42(0,001)^2(0,999)^2 =6cdot10^-6cdot(0,999)^2 approx0,000005988
  1. P(X=3)=binom43(0,001)^3(0,999)^1 =4cdot10^-9cdot0,999 approx3,996times10^-9 :
P(X=4)=binom44(0,001)^4(0,999)^0 =1cdot10^-12cdot1 =1times10^-12
  1. :
  1. :
  1. :

Resposta

A função de probabilidade é
boxedP(X=k) =binom4k(0,001)^k(0,999)^4-k, k=0,1,2,3,4,
com valores numéricos aproximados:
P(X=0)&approx0,996006, P(X=1)&approx0,003988, P(X=2)&approx0,000005988, P(X=3)&approx3,996times10^-9, P(X=4)&=1times10^-12

Exercícios relacionados