O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado como uma variável aleatória de Poisson. Considere que, em média, há 20 chamadas por hora.
Qual é a probabilidade de que haja 3 ou menos chamadas em 1 hora?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o número de chamadas em 1 hora segue uma distribuição de Poisson com média (λ) igual a 20 chamadas por hora. A pergunta é: “Qual a probabilidade de ter 3 ou menos chamadas em 1 hora?”
Conteúdo: Distribuição de Poisson (variável discreta), usamos a fórmula do PMF da Poisson e somamos de 0 a 3.

Passo 2

A Poisson é definida por:
P(X = k) = e^-λ,λ^kk!
Aqui, λ = 20, k! é o fatorial de k (por exemplo, 3! = 3times2times1 = 6) e e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).

Passo 3

Como queremos P(X<=3), somamos de k=0 até k=3:
$$P(X\le3) ;=; \sum_{k=0}^{3} e{-20},\frac{20k}{k!}
;=; e{-20}\Bigl(\frac{200}{0!} + \frac{20^1}{1!} + \frac{20^2}{2!} + \frac{20^3}{3!}\Bigr).$$

Passo 4

Vamos calcular cada termo (usando e^-20approx2,06times10^-9):
  • k=0: e^-2020^00! = 2,06times10^-9
  • k=1: e^-2020^11! = 4,12times10^-8
  • k=2: e^-2020^22! = 4,12times10^-7
  • k=3: e^-2020^36 = 2,75times10^-6
Somando tudo dá cerca de 3,20times10^-6.

Resposta

A probabilidade de ocorrer 3 ou menos chamadas em 1 hora é aproximadamente
P(X<=3)approx3,2times10^-6;(ou 0,0000032)

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