O departamento de controle de qualidade de uma fábrica de motores quer estimar a média do consumo de energia de seus motores. Sabe-se que o desvio-padrão é 3,5 \mathrm{kWh}. Uma amostra de n=16 motores revelou um consumo médio de 50,8 \mathrm{kWh}.
Se supomos que o consumo de energia é uma variável aleatória normalmente distribuída, calcule e interprete um intervalo de confiança com 99 \% de confiança para o consumo médio de energia dos motores.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 99\% para a média do consumo de energia dos motores, sabendo que o desvio– padr~ao populacional é \sigma=3,5 kWh, que o tamanho da amostra é n=16 e a m’edia amostral \bar{x}=50,8 kWh. O conte’udo 'e intervalo de confian\c{c}a para a m’edia com \sigma conhecido, usando a distribui\c{c}~ao normal padr~ao, cuja f’ormula 'e
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 2

Calcular o erro padrão da média:
\mathrm{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3,5}{\sqrt{16}} = 0,875.

Passo 3

Determinar o valor crítico da normal padrão para 99 % de confiança. O nível de significância é
\alpha = 1 - 0,99 = 0,01
e
z_{\alpha/2} = z_{0,005} \approx 2,5758.

Passo 4

Calcular a margem de erro:
E = z_{\alpha/2}\,\mathrm{SE} = 2,5758 \times 0,875 \approx 2,256.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança:
\bar x - E = 50,8 - 2,256 = 48,544
\bar x + E = 50,8 + 2,256 = 53,056

Passo 6

Interpretar: com 99 % de confiança, o verdadeiro consumo médio de energia dos motores está entre 48,544 kWh e 53,056 kWh. Isso significa que 99 % dos intervalos construídos desse modo, em repetições do experimento, conteriam o valor real de \mu.

Resposta

O intervalo de confiança de 99 % para a média do consumo de energia é aproximadamente [48,54\;\text{kWh},\,53,06\;\text{kWh}].

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