Uma equipe de engenharia realiza testes em uma amostra de 100 componentes estruturais de um novo material e verifica que uma proporção de 0,75 desses componentes atende às especificações de durabilidade.
Determine o intervalo de confiança de 95% para a proporção de componentes que atendem às especificações de durabilidade na população total.

Passo 1

O enunciado testa n=100 componentes e encontra proporção amostral \hat p=0,75. Queremos um intervalo de confiança de 95 % para a verdadeira proporção p na população. O método é usar a aproximação normal para proporções, com
\hat p \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.

Passo 2

Antes de aplicar a aproximação normal, verificamos a condição de aderência ao modelo binomial–normal:
n\hat p = 100\times0,75=75\ge10 \quad\text{e}\quad n(1-\hat p)=100\times0,25=25\ge10.
Como ambas quantidades são >=10, a aproximação é razoável.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da proporção:
SE = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,75\times0,25}{100}} = \sqrt{0,001875} \approx0,0433.

Passo 4

Para 95 % de confiança, o valor crítico da normal é
z_{1-\frac{\alpha}{2}} = z_{0,975} \approx1,96.
Logo, a margem de erro é
E = 1,96\times SE \approx1,96\times0,0433 \approx0,0849.

Passo 5

O intervalo de confiança fica
\bigl[\hat p - E,\;\hat p + E\bigr] = [0,75 - 0,0849,\;0,75 + 0,0849] \approx[0,6651,\;0,8349].

Resposta

O intervalo de confiança de 95 % para a proporção é aproximadamente
[\,0,665;\;0,835\,].

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