O departamento de controle de qualidade de uma fábrica de motores quer estimar a média do consumo de energia de seus motores. Sabe-se que o desvio-padrão é 3,5 \mathrm{kWh}. Uma amostra de n=16 motores revelou um consumo médio de 50,8 \mathrm{kWh}.
Calcule e interprete um intervalo de confiança com 95 \% de confiança para o consumo médio de energia dos motores.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=16 com média amostral \bar{x}=50{,}8 kWh e desvio-padrão populacional conhecido \sigma=3{,}5 kWh. Pede-se um intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira \mu. O conteúdo aqui é “intervalo de confiança para a média com \sigma conhecido”, usando a distribuição normal.

Passo 2

Como \bar X\sim N\bigl(\mu,\sigma^2/n\bigr), o intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é dado por
\bar x \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05 e o quantil crítico é
z_{0{,}975}=1{,}96.

Passo 4

O erro padrão da média vale
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3{,}5}{\sqrt{16}} =0{,}875.
Logo, a margem de erro é
E = 1{,}96\times0{,}875 \approx1{,}715.
Os limites do intervalo são
50{,}8 - 1{,}715 = 49{,}085, \quad 50{,}8 + 1{,}715 = 52{,}515,
arredondando para duas casas decimais,
[49{,}09;52{,}51].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para o consumo médio é
[49{,}09;52{,}51]\\ \mathrm{kWh}.
Isso significa que estamos 95\% confiantes de que o verdadeiro consumo médio de energia dos motores está entre 49{,}09 e 52{,}51 kWh.

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