Um engenheiro está analisando a resistência à compressão de uma nova liga metálica. Uma amostra aleatória de n=20 peças apresentou uma resistência média de 850 MPa e um desviopadrão de 40 MPa . Suponha que a resistência segue uma distribuição normal.
a) Construa e interprete um intervalo de confiança com 95 \% de confiança para a média da resistência à compressão da liga metálica.
b) Construa e interprete um intervalo de confiança com 90 \% de confiança para a média da resistência à compressão da liga metálica.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra de tamanho n=20 com média amostral \bar x = 850 MPa e desvio-padrão amostral s=40 MPa, e que a resistência é normalmente distribuída.
Conteúdo: construção de intervalos de confiança para a média quando a variância populacional é desconhecida, usando a distribuição t de Student.

Passo 2

A fórmula geral de um intervalo de confiança para a média \mu com nível de confiança 1-\alpha é
\bar x \;\pm\; t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}\;\frac{s}{\sqrt{n}}
onde t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1} é o quantil da t de Student com n-1 graus de liberdade e s/\sqrt{n} é o erro padrão da média.

Passo 3

Para 95\% de confiança ( \alpha=0,05):
O quantil é t_{0{,}975,\,19}\approx 2{,}093.
O erro padrão é
\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{20}} \approx 8{,}9443.
A margem de erro fica
E_{95\%} = 2{,}093 \times 8{,}9443 \approx 18{,}72.
Logo
\text{IC}_{95\%} = [850 - 18{,}72,\;850 + 18{,}72] = [831{,}28,\;868{,}72]\\ \text{MPa}.

Passo 4

Para 90\% de confiança ( \alpha=0,10):
O quantil é t_{0{,}95,\,19}\approx 1{,}729.
Reaproveitando o erro padrão 8{,}9443, a margem de erro é
E_{90\%} = 1{,}729 \times 8{,}9443 \approx 15{,}46.
Logo
\text{IC}_{90\%} = [850 - 15{,}46,\;850 + 15{,}46] = [834{,}54,\;865{,}46]\\ \text{MPa}.

Resposta

a) O intervalo de confiança a 95\% para a média da resistência é aproximadamente [831{,}3,\;868{,}7] MPa. Isso significa que, se repetíssemos o experimento muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos assim construídos conteriam a verdadeira média da liga.
b) O intervalo de confiança a 90\% para a média é aproximadamente [834{,}5,\;865{,}5] MPa. Ou seja, estamos 90\% confiantes de que a verdadeira resistência média está dentro desse intervalo.

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