- Um Departamento estatal de estradas planeja construir uma nova rodovia entre as cidades A e B. Pela cidade A passa uma estrada abandonada que tem a direção leste-oeste. A cidade B situa-se 3 km ao norte do ponto da estrada abandonada que fica 5 km a leste da cidade A. O custo de restauração da estrada antiga é de
200.000,00
R $400.000,00$ por quilômetro. Levando em consideração que também poder-se-á usar a combinação restauração mais construção de rodovia, qual deve ser a escolha da construção, de modo a minimizar o custo do Departamento?
Passo 1
Resumo do problema: ligar a cidade A a B. Pela A passa uma estrada velha no eixo leste-oeste, que podemos restaurar a
por km, e a partir de um ponto nessa estrada construir nova rodovia a
por km. A cidade B está
km a leste de A e
km ao norte da estrada velha. O conteúdo é otimização de função custo para decidir onde trocar restauração por construção.
Passo 2
Colocamos A na origem
. A estrada velha coincide com o eixo
. A projeção de B na estrada fica em
, e B em si é
. Se restauramos até um ponto
com
, pagamos
e depois construímos de
até
, com distância
pagando
Passo 3
Montamos a função custo total em função de
:
Queremos minimizar
em
.
Passo 4
Calculamos a derivada e anulamos:
Dividindo por
e rearranjando, obtemos
Chamando
, vem
, que ao elevar ao quadrado dá
, ou seja
. Assim
A reta construída terá comprimento
Passo 5
Confirmamos que esse ponto interno é mínimo comparando com as extremidades
(só estrada nova) e
(só restauração até a projeção), e de fato
é o menor custo.
Resposta
Restaurar
km da estrada velha (aprox.
km) e em seguida construir nova rodovia de
km (aprox.
km). Isso reduz o custo ao mínimo de cerca de R$
milhões.