1. Um Departamento estatal de estradas planeja construir uma nova rodovia entre as cidades A e B. Pela cidade A passa uma estrada abandonada que tem a direção leste-oeste. A cidade B situa-se 3 km ao norte do ponto da estrada abandonada que fica 5 km a leste da cidade A. O custo de restauração da estrada antiga é de 200.000,00 ôéR $400.000,00$ por quilômetro. Levando em consideração que também poder-se-á usar a combinação restauração mais construção de rodovia, qual deve ser a escolha da construção, de modo a minimizar o custo do Departamento?

Passo 1

Resumo do problema: ligar a cidade A a B. Pela A passa uma estrada velha no eixo leste-oeste, que podemos restaurar a R$200,000 por km, e a partir de um ponto nessa estrada construir nova rodovia a R$400,000 por km. A cidade B está 5 km a leste de A e 3 km ao norte da estrada velha. O conteúdo é otimização de função custo para decidir onde trocar restauração por construção.

Passo 2

Colocamos A na origem (0,0). A estrada velha coincide com o eixo x. A projeção de B na estrada fica em (5,0), e B em si é (5,3). Se restauramos até um ponto C=(x,0) com 0<= x<=5, pagamos
custo de restauração =200000,x çã
e depois construímos de C até B, com distância
raiz(5-x)^2+3^2=raiz(5-x)^2+9,
pagando
custo de nova estrada=400000raiz(5-x)^2+9

Passo 3

Montamos a função custo total em função de x:
F(x)=200000,x+400000raiz(5-x)^2+9
Queremos minimizar F(x) em [0,5].

Passo 4

Calculamos a derivada e anulamos:
F'(x)=200000+400000cdotx-5raiz(5-x)^2+9=0
Dividindo por 200000 e rearranjando, obtemos
1+2x-5raiz(5-x)^2+9=0 ;Longrightarrow; x-5raiz(5-x)^2+9=-tfrac12
Chamando t=5-x, vem t=tfrac12raizt^2+9, que ao elevar ao quadrado dá t^2=3, ou seja t=raiz3. Assim
x=5-raiz3(approx3,268 km)
A reta construída terá comprimento
raiz(5-x)^2+9=raiz3+9=raiz12=2raiz3approx3,464 km

Passo 5

Confirmamos que esse ponto interno é mínimo comparando com as extremidades x=0 (só estrada nova) e x=5 (só restauração até a projeção), e de fato F(5-raiz3)approx R$2,04 milhõesõ é o menor custo.

Resposta

Restaurar 5-raiz3 km da estrada velha (aprox. 3,268 km) e em seguida construir nova rodovia de 2raiz3 km (aprox. 3,464 km). Isso reduz o custo ao mínimo de cerca de R$ 2,04 milhões.

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