Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \ 1 & 1\end{array}\\right)\’
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \ 1 & 1\end{array}\\right)\’
Passo 1
O enunciado pede para a matriz
determinar os autovalores, os autovetores e a dimensão de cada autoespaço.
O conteúdo envolve a teoria de autovalores e autovetores: buscamos soluções não-triviais de
O conteúdo envolve a teoria de autovalores e autovetores: buscamos soluções não-triviais de
isto é, as raízes do polinômio característico e os correspondentes espaços nulos de
.
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de
. Por definição,
O determinante desse
é
Passo 3
Expandindo e fatorando o polinômio, temos
Logo os autovalores são
e
. Cada um aparece com multiplicidade algébrica
, pois o polinômio factorou em dois fatores lineares distintos.
Passo 4
Agora encontramos os autovetores, ou seja, bases dos espaços
.
Para
, resolvemos
Isso dá o sistema
logo
. Tomando
,
, obtemos o autovetor geral
,
.
Para
, resolvemos
Isso dá
logo
. Tomando
,
, obtemos
,
.
Passo 5
Cada autovalor tem multiplicidade algébrica
e o espaço de autovetores correspondente também é unidimensional (um parâmetro livre em cada caso). Portanto a dimensão de cada autoespaço é
.
Resposta
Autovalores:
,
.
Autovetores:
para , qualquer múltiplo de
;
para , qualquer múltiplo de
.
para
para
Dimensão dos autoespaços: ambos iguais a
.