Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \ 1 & 1\end{array}\\right)\’

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = 1 & 11 & 1
determinar os autovalores, os autovetores e a dimensão de cada autoespaço.
O conteúdo envolve a teoria de autovalores e autovetores: buscamos soluções não-triviais de
A v = lambda v,
isto é, as raízes do polinômio característico e os correspondentes espaços nulos de A - lambda I.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A. Por definição,
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det1-lambda & 11 & 1-lambda
O determinante desse 2times2 é
(1-lambda)^2 - 1cdot1 = (1-lambda)^2 - 1

Passo 3

Expandindo e fatorando o polinômio, temos
chiA(lambda) = (1-lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda + 1 - 1 = lambda(lambda - 2)
Logo os autovalores são lambda1 = 0 e lambda2 = 2. Cada um aparece com multiplicidade algébrica 1, pois o polinômio factorou em dois fatores lineares distintos.

Passo 4

Agora encontramos os autovetores, ou seja, bases dos espaços .
Para , resolvemos
Isso dá o sistema
logo . Tomando , , obtemos o autovetor geral
, .
Para , resolvemos
Isso dá
logo . Tomando , , obtemos
, .

Passo 5

Cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 e o espaço de autovetores correspondente também é unidimensional (um parâmetro livre em cada caso). Portanto a dimensão de cada autoespaço é 1.

Resposta

Autovalores:
lambda1 = 0, lambda2 = 2.
Autovetores:
para lambda1=0, qualquer múltiplo de 1-1;
para lambda2=2, qualquer múltiplo de 11.
Dimensão dos autoespaços: ambos iguais a 1.

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