1. O departamento de estrada está planejando construir uma área de piquenique para motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, e cercada nos três lados não-adjacentes à auto-estrada. Qual é a quantidade mínima de cerca que será necessária para realizar o trabalho?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: a área da região retangular deve ser 5\,000 metros quadrados.
  • Informação: o retângulo será colocado ao longo de uma auto-estrada, de modo que não é preciso cercar o lado que fica junto à auto-estrada; é necessário cercar os três outros lados (os dois lados perpendiculares à estrada e o lado oposto à estrada).
  • Pergunta: qual é a quantidade mínima de cerca (comprimento total de cerca) necessária para cercar esses três lados mantendo a área de 5\,000\\ \text{m}^2?

Passo 2

Definir variáveis e escrever a expressão do problema em termos dessas variáveis.
  • Seja L o comprimento do lado do retângulo paralelo à auto-estrada (o lado junto à estrada, que NÃO será cercado).
  • Seja W a largura (a profundidade) do retângulo, i.e., a medida perpendicular à auto-estrada (esses dois lados serão cercados).
  • A área do retângulo é dada por
A = L\cdot W.
Pelo enunciado, A = 5\,000. Então temos a restrição
L\cdot W = 5\,000.
  • O comprimento total da cerca necessário cobre o lado oposto à estrada (comprimento L) mais os dois lados de comprimento W. Logo a função que dá o comprimento de cerca é
F = L + 2W.

Passo 3

Usar a restrição da área para eliminar uma variável e escrever F como função de apenas uma variável.
Da restrição L\cdot W = 5\,000 obtemos
L = \frac{5\,000}{W}.
Substituindo em F obtemos F em função de W:
F(W) = \frac{5\,000}{W} + 2W.
Agora o problema virou: encontrar o valor de W>0 que minimiza F(W).

Passo 4

Explicar a ideia do método (cálculo diferencial) e por que ele vale aqui.
  • Quando uma função real diferenciável tem um mínimo em um ponto interior do domínio, sua derivada nesse ponto é zero. Esse é o procedimento padrão para problemas de otimização sem restrições adicionais.
  • Vamos calcular a derivada F'(W), igualá-la a zero para achar pontos críticos, e usar o teste da segunda derivada para confirmar que o ponto crítico é um mínimo.

Passo 5

Calcular a derivada de F(W).
A função é
F(W)=\frac{5\,000}{W}+2W.
Reescrevendo o primeiro termo como potências para derivar mais facilmente:
\frac{5\,000}{W}=5\,000\cdot W^{-1}.
A derivada é
F'(W)=5\,000\cdot(-1)W^{-2}+2 = -\frac{5\,000}{W^{2}}+2.

Passo 6

Encontrar o ponto crítico resolvendo F'(W)=0.
Igualando a derivada a zero:
-\frac{5\,000}{W^{2}}+2=0.
Isolando o termo com W^{2}:
2=\frac{5\,000}{W^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por W^{2} e dividindo por 2:
W^{2}=\frac{5\,000}{2}=2\,500.
Como W>0 (medida de comprimento), temos
W=\sqrt{2\,500}=50.
Logo o valor candidato para a largura que minimiza F é W=50\\ \text{m}.

Passo 7

Verificar que esse ponto crítico é realmente um mínimo (teste da segunda derivada).
Calcular a segunda derivada:
F''(W)=\frac{d}{dW}\!\left(-\frac{5\,000}{W^{2}}+2\right)= -5\,000\cdot(-2)W^{-3}= \frac{10\,000}{W^{3}}.
Para W=50 temos
F''(50)=\frac{10\,000}{50^{3}}>0,
portanto a função é côncava para cima ali e o ponto crítico é um mínimo local. Como a função F(W) tende a +\infty quando W\to0^{+} ou W\to+\infty, esse mínimo local é também o mínimo global.

Passo 8

Calcular as dimensões correspondentes e o comprimento mínimo da cerca.
  • Com W=50\\ \text{m}, a comprimento paralelo à estrada é
L=\frac{5\,000}{W}=\frac{5\,000}{50}=100\\ \text{m}.
  • O comprimento total de cerca necessário é
F_{\min}=L+2W=100+2\cdot50=100+100=200\\ \text{m}.

Passo 9

Interpretação final e dica prática para prova.
  • Interpretação: a área 5\,000\\ \text{m}^2 é obtida por um retângulo de 100\\ \text{m} ao longo da estrada e 50\\ \text{m} de profundidade; cercando apenas os três lados não adjacentes à estrada exige-se no mínimo 200\\ \text{m} de cerca.
  • Dica rápida sem cálculo diferencial: muitas vezes para problemas do tipo minimizar L+2W com LW fixo surge uma relação de proporcionalidade (a largura fica na razão inversa do comprimento); conhecer essa técnica e o método do derivativo resolve direto. Outra alternativa elegante é usar desigualdade AM-GM para evitar derivadas, mas a derivada é o caminho direto e seguro.

Resposta

\,200\\ \text{m}

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