- O departamento de estrada está planejando construir uma área de piquenique para motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, e cercada nos três lados não-adjacentes à auto-estrada. Qual é a quantidade mínima de cerca que será necessária para realizar o trabalho?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: a área da região retangular deve ser
metros quadrados. - Informação: o retângulo será colocado ao longo de uma auto-estrada, de modo que não é preciso cercar o lado que fica junto à auto-estrada; é necessário cercar os três outros lados (os dois lados perpendiculares à estrada e o lado oposto à estrada).
- Pergunta: qual é a quantidade mínima de cerca (comprimento total de cerca) necessária para cercar esses três lados mantendo a área de
?
Passo 2
Definir variáveis e escrever a expressão do problema em termos dessas variáveis.
- Seja
o comprimento do lado do retângulo paralelo à auto-estrada (o lado junto à estrada, que NÃO será cercado). - Seja
a largura (a profundidade) do retângulo, i.e., a medida perpendicular à auto-estrada (esses dois lados serão cercados). - A área do retângulo é dada por
Pelo enunciado,
. Então temos a restrição
- O comprimento total da cerca necessário cobre o lado oposto à estrada (comprimento
) mais os dois lados de comprimento . Logo a função que dá o comprimento de cerca é
Passo 3
Usar a restrição da área para eliminar uma variável e escrever
como função de apenas uma variável.
Da restrição
obtemos
Substituindo em
obtemos
em função de
:
Agora o problema virou: encontrar o valor de
que minimiza
.
Passo 4
Explicar a ideia do método (cálculo diferencial) e por que ele vale aqui.
- Quando uma função real diferenciável tem um mínimo em um ponto interior do domínio, sua derivada nesse ponto é zero. Esse é o procedimento padrão para problemas de otimização sem restrições adicionais.
- Vamos calcular a derivada
, igualá-la a zero para achar pontos críticos, e usar o teste da segunda derivada para confirmar que o ponto crítico é um mínimo.
Passo 5
Calcular a derivada de
.
A função é
Reescrevendo o primeiro termo como potências para derivar mais facilmente:
A derivada é
Passo 6
Encontrar o ponto crítico resolvendo
.
Igualando a derivada a zero:
Isolando o termo com
:
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Como
(medida de comprimento), temos
Logo o valor candidato para a largura que minimiza
é
.
Passo 7
Verificar que esse ponto crítico é realmente um mínimo (teste da segunda derivada).
Calcular a segunda derivada:
Para
temos
portanto a função é côncava para cima ali e o ponto crítico é um mínimo local. Como a função
tende a
quando
ou
, esse mínimo local é também o mínimo global.
Passo 8
Calcular as dimensões correspondentes e o comprimento mínimo da cerca.
- Com
, a comprimento paralelo à estrada é
- O comprimento total de cerca necessário é
Passo 9
Interpretação final e dica prática para prova.
- Interpretação: a área
é obtida por um retângulo de ao longo da estrada e de profundidade; cercando apenas os três lados não adjacentes à estrada exige-se no mínimo de cerca. - Dica rápida sem cálculo diferencial: muitas vezes para problemas do tipo minimizar
com fixo surge uma relação de proporcionalidade (a largura fica na razão inversa do comprimento); conhecer essa técnica e o método do derivativo resolve direto. Outra alternativa elegante é usar desigualdade AM-GM para evitar derivadas, mas a derivada é o caminho direto e seguro.