Projete uma caixa retangular de leite com largura x, comprimento y e altura z, que contenha 512 \mathrm{~cm}^{3} de leite. Os lados da caixa custam 3 centavos / \mathrm{cm}^{2} e o topo e o fundo custam 5 centavos / \mathrm{cm}^{2}. Ache as dimensões da caixa que minimizem o custo total. Qual é esse custo?
Passo 1
O enunciado pede para projetar uma caixa retangular com largura \,x, comprimento \,y e altura \,z que contenha \,512\\ \mathrm{cm}^3 de leite, sabendo que:
os quatro lados (as faces laterais) custam \,3 centavos por \mathrm{cm}^2;
o topo e o fundo custam \,5 centavos por \mathrm{cm}^2.
As perguntas são:
Quais são as dimensões \,x,\;y,\;z que minimizam o custo total?
Qual é o custo mínimo (em centavos)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Volume fixo: \;x y z = 512.
Custos por área: lados \,3 centavos/\mathrm{cm}^2; topo e fundo \,5 centavos/\mathrm{cm}^2.
As áreas das faces da caixa: duas faces x\times z, duas faces y\times z, topo e fundo x\times y cada uma.
Passo 2
Montar a função custo em termos de x,y,z.
Primeiro calcular as áreas:
Área total das quatro faces laterais: \;2(xz)+2(yz)=2z(x+y).
Área do topo e do fundo juntas: \;2(xy).
Agora multiplicar por seus respectivos custos (em centavos):
\text{Custo total }C(x,y,z)=3\cdot\bigl[2z(x+y)\bigr]+5\cdot\bigl[2xy\bigr].
Simplificando:
C(x,y,z)=6xz+6yz+10xy.
Essa é a função que queremos minimizar sujeita à restrição de volume \;x y z =512.
Passo 3
Usar a restrição de volume para eliminar uma variável (fazer contas mais simples na prova).
Comentário didático rápido: escolher eliminar z é prático porque assim trabalhamos só com x e y e podemos aplicar cálculo de funções de duas variáveis. Esse tipo de manipulação (usar a restrição para reduzir número de variáveis) é muito comum em problemas de otimização sujeitos a restrição.
Passo 4
Encontrar candidatos a extremos tomando derivadas parciais e igualando a zero (condição de ponto crítico).
Resolver o sistema das condições críticas. Note a simetria: se trocarmos x por y as equações trocam de lugar. Uma solução natural por simetria é x=y. Vamos assumir x=y (isso também pode ser justificado que o custo e a restrição são simétricos em x e y).
Como D>0 e \partial^{2}C/\partial x^{2}>0, o ponto é um mínimo local. Além disso, pelo comportamento da função (quando alguma variável tende a 0 ou a \infty, o custo tende a \infty), esse mínimo local é também mínimo global positivo — ou seja, é a solução que realmente minimiza o custo sujeito à restrição de volume.
Passo 7
Calcular o custo mínimo correspondente.
Usar a expressão reduzida para simplificar: para x=y,