1. Projete uma caixa retangular de leite com largura x, comprimento y e altura z, que contenha 512 \mathrm{~cm}^{3} de leite. Os lados da caixa custam 3 centavos / \mathrm{cm}^{2} e o topo e o fundo custam 5 centavos / \mathrm{cm}^{2}. Ache as dimensões da caixa que minimizem o custo total. Qual é esse custo?

Passo 1

O enunciado pede para projetar uma caixa retangular com largura \,x, comprimento \,y e altura \,z que contenha \,512\\ \mathrm{cm}^3 de leite, sabendo que:
  • os quatro lados (as faces laterais) custam \,3 centavos por \mathrm{cm}^2;
  • o topo e o fundo custam \,5 centavos por \mathrm{cm}^2.
As perguntas são:
  1. Quais são as dimensões \,x,\;y,\;z que minimizam o custo total?
  2. Qual é o custo mínimo (em centavos)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume fixo: \;x y z = 512.
  • Custos por área: lados \,3 centavos/ \mathrm{cm}^2; topo e fundo \,5 centavos/ \mathrm{cm}^2.
  • As áreas das faces da caixa: duas faces x\times z, duas faces y\times z, topo e fundo x\times y cada uma.

Passo 2

Montar a função custo em termos de x,y,z.
Primeiro calcular as áreas:
  • Área total das quatro faces laterais: \;2(xz)+2(yz)=2z(x+y).
  • Área do topo e do fundo juntas: \;2(xy).
Agora multiplicar por seus respectivos custos (em centavos):
\text{Custo total }C(x,y,z)=3\cdot\bigl[2z(x+y)\bigr]+5\cdot\bigl[2xy\bigr].
Simplificando:
C(x,y,z)=6xz+6yz+10xy.
Essa é a função que queremos minimizar sujeita à restrição de volume \;x y z =512.

Passo 3

Usar a restrição de volume para eliminar uma variável (fazer contas mais simples na prova).
Da restrição:
z=\frac{512}{xy}.
Substituindo em C:
C(x,y)=6x\left(\frac{512}{xy}\right)+6y\left(\frac{512}{xy}\right)+10xy.
Simplificando os termos:
C(x,y)=\frac{3072}{y}+\frac{3072}{x}+10xy.
Ou, colocada simetricamente:
C(x,y)=\frac{3072}{x}+\frac{3072}{y}+10xy.
Comentário didático rápido: escolher eliminar z é prático porque assim trabalhamos só com x e y e podemos aplicar cálculo de funções de duas variáveis. Esse tipo de manipulação (usar a restrição para reduzir número de variáveis) é muito comum em problemas de otimização sujeitos a restrição.

Passo 4

Encontrar candidatos a extremos tomando derivadas parciais e igualando a zero (condição de ponto crítico).
Calcular as derivadas parciais de C(x,y):
\frac{\partial C}{\partial x} = -\frac{3072}{x^{2}}+10y, \qquad \frac{\partial C}{\partial y} = -\frac{3072}{y^{2}}+10x.
Para um ponto crítico devemos ter ambas iguais a zero:
-\frac{3072}{x^{2}}+10y=0,\qquad -\frac{3072}{y^{2}}+10x=0.
Rearranjando:
10y=\frac{3072}{x^{2}},\qquad 10x=\frac{3072}{y^{2}}.

Passo 5

Resolver o sistema das condições críticas. Note a simetria: se trocarmos x por y as equações trocam de lugar. Uma solução natural por simetria é x=y. Vamos assumir x=y (isso também pode ser justificado que o custo e a restrição são simétricos em x e y).
Com x=y a primeira equação vira:
10x=\frac{3072}{x^{2}} \quad\Rightarrow\quad 10x^{3}=3072.
Logo
x^{3}=\frac{3072}{10}=\frac{1536}{5}=512\cdot\frac{3}{5}.
Extraindo a raiz cúbica, escrevemos a forma exata conveniente:
x=8\left(\frac{3}{5}\right)^{1/3}.
Como y=x, temos
y=8\left(\frac{3}{5}\right)^{1/3}.
Agora encontrar z pela restrição z=\dfrac{512}{xy}. Como xy=x^{2},
z=\frac{512}{x^{2}}.
Usando x^{2}=64\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2/3} (porque \,x=8(3/5)^{1/3}):
z=\frac{512}{64\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2/3}}=8\left(\frac{5}{3}\right)^{2/3}.
Apresentando também aproximações numéricas (úteis na prova para ver dimensão prática):
  • \;x=y\approx 8\cdot 0{,}843432\approx 6{,}747\\ \mathrm{cm}.
  • \;z\approx \dfrac{512}{(6{,}747)^{2}}\approx 11{,}243\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Verificar que esse ponto crítico é mínimo (teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis).
Calcular derivadas segundas:
\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}=\frac{6144}{x^{3}},\qquad \frac{\partial^{2}C}{\partial y^{2}}=\frac{6144}{y^{3}},\qquad \frac{\partial^{2}C}{\partial x\partial y}=10.
No ponto crítico x=y e sabendo que x^{3}=307{,}2 (porque 10x^{3}=3072), obtemos números simples:
\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}\Big|_{*}=\frac{6144}{x^{3}}=\frac{6144}{307{,}2}=20,
e idem para \partial^{2}C/\partial y^{2}. O determinante da Hessiana é
D=\left(\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}\right)\left(\frac{\partial^{2}C}{\partial y^{2}}\right)-\left(\frac{\partial^{2}C}{\partial x\partial y}\right)^{2}=20\cdot20-10^{2}=400-100=300>0.
Como D>0 e \partial^{2}C/\partial x^{2}>0, o ponto é um mínimo local. Além disso, pelo comportamento da função (quando alguma variável tende a 0 ou a \infty, o custo tende a \infty), esse mínimo local é também mínimo global positivo — ou seja, é a solução que realmente minimiza o custo sujeito à restrição de volume.

Passo 7

Calcular o custo mínimo correspondente.
Usar a expressão reduzida para simplificar: para x=y,
C(x,x)=\frac{3072}{x}+\frac{3072}{x}+10x^{2}=\frac{6144}{x}+10x^{2}.
No ponto ótimo, pela condição 10x^{3}=3072 temos 10x^{2}=\dfrac{3072}{x}. Substituindo:
C_{\min}=\frac{6144}{x}+10x^{2}=\frac{6144}{x}+\frac{3072}{x}=\frac{9216}{x}.
Usando x=8\left(\dfrac{3}{5}\right)^{1/3} obtemos uma forma exata:
C_{\min}= \frac{9216}{8\left(\dfrac{3}{5}\right)^{1/3}}=1152\left(\frac{5}{3}\right)^{1/3}\\ \text{centavos}.
Aproximação numérica:
C_{\min}\approx 1152\cdot 1{,}185612\approx 1366{,}141\\ \text{centavos}\approx 13{,}661\\ \text{(unidade monetária)}.á
Obs.: a unidade final está em centavos, pois os preços dados eram em centavos por \mathrm{cm}^2.

Resposta

x=8\left(\dfrac{3}{5}\right)^{1/3}\\ \mathrm{cm}\approx 6{,}747\\ \mathrm{cm}
y=8\left(\dfrac{3}{5}\right)^{1/3}\\ \mathrm{cm}\approx 6{,}747\\ \mathrm{cm}
z=8\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2/3}\\ \mathrm{cm}\approx 11{,}243\\ \mathrm{cm}
C_{\min}=1152\left(\dfrac{5}{3}\right)^{1/3}\\ \text{centavos}\approx 1366{,}14\\ \text{centavos}

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