- Encontre o máximo e o mínimo absoluto de
na região
Passo 1
O enunciado dá a função
definida na região quadrada fechada
. O que é pedido:
- Encontrar o máximo absoluto de
em . - Encontrar o mínimo absoluto de
em .
Informações relevantes do enunciado:
- Domínio considerado é o quadrado fechado com
e . - A função é um polinômio quadrático em
e (portanto suave e contínua), o que garante que máximos e mínimos absolutos existem em .
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática do método que vamos usar):
- Para funções de duas variáveis numa região fechada e limitada, os extremos absolutos podem acontecer em pontos críticos interiores (onde o gradiente é zero) ou na fronteira. Então:
- Vamos procurar pontos críticos resolvendo
. - Verificamos se algum desses pontos está dentro de
. - Se não houver pontos críticos dentro de
, ou mesmo se houver, devemos analisar a fronteira: cada aresta do quadrado é um segmento onde a função reduz-se a uma função de uma variável; encontramos seus extremos (derivada igual a zero ou nas extremidades). - Comparamos todos os valores obtidos (pontos críticos internos, extremos nas arestas e vértices) para escolher o máximo e o mínimo absolutos.
- Vamos procurar pontos críticos resolvendo
Breve lembrete teórico (passo a passo do que é gradiente e por que resolvemos
):
- O gradiente
contém as derivadas parciais. Pontos internos onde são candidatos a extremos locais porque ali não há direção de subida/descida instantânea. - Em regiões fechadas, além desses candidatos internos, os extremos também podem ocorrer na fronteira.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (vamos mostrar como calcular e o que significa cada termo):
- Derivada parcial em
: . - Derivando termo a termo:
, , , , . - Logo
- Derivando termo a termo:
- Derivada parcial em
: . - Derivando termo a termo:
, , , , . - Logo
- Derivando termo a termo:
Igualamos o gradiente a zero para achar pontos críticos:
Passo 4
Resolver o sistema linear (mostrando cada passo algébrico):
- A primeira equação dá
- Substituindo na segunda equação:
Desenvolvendo: - Então
- O ponto crítico é
.
Verificação de interioridade:
- A região
exige . Como , o ponto crítico está fora de . - Conclusão: não há pontos críticos interiores em
. Portanto os extremos absolutos em ocorrem obrigatoriamente na fronteira do quadrado.
Passo 5
Analisar a fronteira: são quatro arestas (cada uma com uma coordenada fixa). Para cada aresta, reduzimos
a uma função de uma variável e usamos cálculo de uma variável (derivada) para encontrar extremos interiores da aresta, além de checar os extremos dos segmentos.
Aresta A (lado
, com
):
- Restrição:
- Derivada em relação a
: - Zerar derivada:
, que não pertence ao intervalo . - Como
em todo , a função é crescente nesse intervalo. - Valores nas extremidades:
-
- Conclusão da aresta
: mínimo em , máximo em .
Passo 6
Aresta B (lado
, com
):
- Restrição:
- Derivada:
- Zerar derivada:
, que está em . Então há um candidato interno desta aresta em . - Avaliar nos pontos relevantes:
-
-
-
Calcule passo a passo:Então Usando denominador comum :
-
- Conclusão da aresta
: mínimo em , valores em extremos já calculados e .
Passo 7
Aresta C (lado
, com
):
- Restrição:
- Derivada:
- Zerar derivada:
, que é a extremidade do intervalo. - Avaliar nos extremos:
-
(já calculado). -
.
-
- Conclusão da aresta
: mínimo em , máximo em .
Passo 8
Aresta D (lado
, com
):
- Restrição:
- Observação:
. - O mínimo dessa parábola ocorre em
, que está fora de . No intervalo a função é estritamente decrescente (derivada ), então: -
. -
.
-
- Conclusão da aresta
: máximo em , mínimo em .
Passo 9
Compilar todos os candidatos e comparar valores:
- Pontos verificados e seus valores:
-
: . -
: . -
: . -
: . - Ponto crítico na fronteira:
: .
-
- Não há pontos críticos interiores dentro de
.
Comparando os valores:
- O menor valor encontrado é
em . - O maior valor encontrado é
em .
Resposta
Máximo absoluto:
em
Mínimo absoluto:
em