1. Encontre o máximo e o mínimo absoluto de f(x, y)=x^{2}-2 x y+3 y^{2}-2 x+y na região D=[0,1] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2}-2x+y definida na região quadrada fechada D=[0,1]\times[0,1]. O que é pedido:
  • Encontrar o máximo absoluto de f em D.
  • Encontrar o mínimo absoluto de f em D.
Informações relevantes do enunciado:
  • Domínio considerado é o quadrado fechado com 0\le x\le1 e 0\le y\le1.
  • A função é um polinômio quadrático em x e y (portanto suave e contínua), o que garante que máximos e mínimos absolutos existem em D.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática do método que vamos usar):
  • Para funções de duas variáveis numa região fechada e limitada, os extremos absolutos podem acontecer em pontos críticos interiores (onde o gradiente é zero) ou na fronteira. Então:
    1. Vamos procurar pontos críticos resolvendo \nabla f(x,y)=\mathbf{0}.
    2. Verificamos se algum desses pontos está dentro de D.
    3. Se não houver pontos críticos dentro de D, ou mesmo se houver, devemos analisar a fronteira: cada aresta do quadrado é um segmento onde a função reduz-se a uma função de uma variável; encontramos seus extremos (derivada igual a zero ou nas extremidades).
    4. Comparamos todos os valores obtidos (pontos críticos internos, extremos nas arestas e vértices) para escolher o máximo e o mínimo absolutos.
Breve lembrete teórico (passo a passo do que é gradiente e por que resolvemos \nabla f=0):
  • O gradiente \nabla f=(f_x,f_y) contém as derivadas parciais. Pontos internos onde \nabla f=\mathbf{0} são candidatos a extremos locais porque ali não há direção de subida/descida instantânea.
  • Em regiões fechadas, além desses candidatos internos, os extremos também podem ocorrer na fronteira.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (vamos mostrar como calcular e o que significa cada termo):
  • Derivada parcial em x: \displaystyle f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-2xy+3y^{2}-2x+y\bigr).
    • Derivando termo a termo: \frac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x, \frac{\partial}{\partial x}(-2xy)=-2y, \frac{\partial}{\partial x}(3y^{2})=0, \frac{\partial}{\partial x}(-2x)=-2, \frac{\partial}{\partial x}(y)=0.
    • Logo \displaystyle f_x=2x-2y-2.
  • Derivada parcial em y: \displaystyle f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-2xy+3y^{2}-2x+y\bigr).
    • Derivando termo a termo: \frac{\partial}{\partial y}x^{2}=0, \frac{\partial}{\partial y}(-2xy)=-2x, \frac{\partial}{\partial y}(3y^{2})=6y, \frac{\partial}{\partial y}(-2x)=0, \frac{\partial}{\partial y}(y)=1.
    • Logo \displaystyle f_y=-2x+6y+1.
Igualamos o gradiente a zero para achar pontos críticos:
\begin{cases} 2x-2y-2=0,\\[4pt] -2x+6y+1=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema linear (mostrando cada passo algébrico):
  • A primeira equação dá \,2x-2y=2\Rightarrow x-y=1\Rightarrow x=y+1.
  • Substituindo na segunda equação: -2(y+1)+6y+1=0.Desenvolvendo: -2y-2+6y+1=0 \Rightarrow 4y-1=0 \Rightarrow y=\tfrac{1}{4}.
  • Então x=y+1=\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{5}{4}.
  • O ponto crítico é \left(\tfrac{5}{4},\tfrac{1}{4}\right).
Verificação de interioridade:
  • A região D exige 0\le x\le1. Como \tfrac{5}{4}=1{,}25>1, o ponto crítico está fora de D.
  • Conclusão: não há pontos críticos interiores em D. Portanto os extremos absolutos em D ocorrem obrigatoriamente na fronteira do quadrado.

Passo 5

Analisar a fronteira: são quatro arestas (cada uma com uma coordenada fixa). Para cada aresta, reduzimos f a uma função de uma variável e usamos cálculo de uma variável (derivada) para encontrar extremos interiores da aresta, além de checar os extremos dos segmentos.
Aresta A (lado x=0, com y\in[0,1]):
  • Restrição: \displaystyle f(0,y)=3y^{2}+y.
  • Derivada em relação a y: \displaystyle \frac{d}{dy}(3y^{2}+y)=6y+1.
  • Zerar derivada: 6y+1=0\Rightarrow y=-\tfrac{1}{6}, que não pertence ao intervalo [0,1].
  • Como 6y+1>0 em todo [0,1], a função é crescente nesse intervalo.
  • Valores nas extremidades:
    • f(0,0)=3\cdot0^{2}+0=0.
    • f(0,1)=3\cdot1^{2}+1=4.
  • Conclusão da aresta x=0: mínimo 0 em (0,0), máximo 4 em (0,1).

Passo 6

Aresta B (lado x=1, com y\in[0,1]):
  • Restrição: \displaystyle f(1,y)=1-2y+3y^{2}-2+y=3y^{2}-y-1.
  • Derivada: \displaystyle \frac{d}{dy}(3y^{2}-y-1)=6y-1.
  • Zerar derivada: 6y-1=0\Rightarrow y=\tfrac{1}{6}, que está em [0,1]. Então há um candidato interno desta aresta em y=\tfrac{1}{6}.
  • Avaliar nos pontos relevantes:
    • f(1,0)=3\cdot0^{2}-0-1=-1.
    • f(1,1)=3-1-1=1.
    • f\!\left(1,\tfrac{1}{6}\right)=3\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}-\tfrac{1}{6}-1.
      Calcule passo a passo: 3\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}=3\cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{1}{12}.Então f\!\left(1,\tfrac{1}{6}\right)=\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{6}-1.Usando denominador comum 12: \tfrac{1}{12}-\tfrac{2}{12}-\tfrac{12}{12}=\tfrac{1-2-12}{12}=\tfrac{-13}{12}.
  • Conclusão da aresta x=1: mínimo -\tfrac{13}{12} em \left(1,\tfrac{1}{6}\right), valores em extremos já calculados -1 e 1.

Passo 7

Aresta C (lado y=0, com x\in[0,1]):
  • Restrição: \displaystyle f(x,0)=x^{2}-2x.
  • Derivada: \displaystyle \frac{d}{dx}(x^{2}-2x)=2x-2.
  • Zerar derivada: 2x-2=0\Rightarrow x=1, que é a extremidade do intervalo.
  • Avaliar nos extremos:
    • f(0,0)=0 (já calculado).
    • f(1,0)=1-2=-1.
  • Conclusão da aresta y=0: mínimo -1 em (1,0), máximo 0 em (0,0).

Passo 8

Aresta D (lado y=1, com x\in[0,1]):
  • Restrição: \displaystyle f(x,1)=x^{2}-2x\cdot1+3\cdot1^{2}-2x+1 = x^{2}-4x+4.
  • Observação: x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
  • O mínimo dessa parábola ocorre em x=2, que está fora de [0,1]. No intervalo [0,1] a função é estritamente decrescente (derivada 2x-4<0), então:
    • f(0,1)=(0-2)^{2}=4.
    • f(1,1)=(1-2)^{2}=1.
  • Conclusão da aresta y=1: máximo 4 em (0,1), mínimo 1 em (1,1).

Passo 9

Compilar todos os candidatos e comparar valores:
  • Pontos verificados e seus valores:
    • (0,0): f=0.
    • (0,1): f=4.
    • (1,0): f=-1.
    • (1,1): f=1.
    • Ponto crítico na fronteira: \left(1,\tfrac{1}{6}\right): f=-\tfrac{13}{12}\approx-1{,}0833.
  • Não há pontos críticos interiores dentro de D.
Comparando os valores:
  • O menor valor encontrado é -\tfrac{13}{12} em \left(1,\tfrac{1}{6}\right).
  • O maior valor encontrado é 4 em (0,1).

Resposta

Máximo absoluto: f(0,1)=4 em \bigl(0,1\bigr)
Mínimo absoluto: f\!\left(1,\tfrac{1}{6}\right)=-\dfrac{13}{12} em \displaystyle\left(1,\tfrac{1}{6}\right)

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