Um balão esférico está sendo inflado a uma taxa de 10 cm 3/s. Encontre a taxa de variação de área de superfície quando o raio é de 5 cm . Dados: V = 4/3 pi r^3 e A_superficie = 4 * pi * r^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um balão esférico que está sendo inflado, e queremos descobrir quão rápido a área da superfície está mudando quando o raio do balão é de 5 cm. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo relacionado a taxas de variação. As fórmulas que vamos precisar são:
  • Volume da esfera:
  • Área da superfície da esfera:

Passo 2

Primeiro, sabemos que o volume do balão está aumentando a uma taxa de . Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da área da superfície, , quando o raio .

Passo 3

Vamos começar encontrando a relação entre a taxa de variação do volume e a taxa de variação do raio. Para isso, derivamos a fórmula do volume em relação ao tempo:
Agora, isolamos :

Passo 4

Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Agora que sabemos , vamos encontrar derivando a fórmula da área da superfície:

Passo 6

Substituindo e :

Resposta

A taxa de variação da área da superfície quando o raio é de 5 cm é de 4 cm²/s.

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