Departamento de Matemática
Prova Especial de Cálculo 3
Nome do Aluno:
Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(2) (valor: 2,5 pontos) Um ciclista sobe uma superfície montanhosa dada por S:=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z=2 pi, z >= 0 ao longo de uma trajetória regular. Suponha que o ciclista sobe a uma velocidade constante e que essa exerce uma força descrita por F(x, y, z)=(z^2, 3 y^2, 2 x z). Sabendo que o ciclista parte do eixo x, qual o trabalho realizado pelo ciclista para alcançar o topo da montanha?

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo ciclista ao subir a montanha descrita por S:(x,y,z)in R^3;,x^2+y^2+z=2pi,,z>=0 sob a força F(x,y,z)=(z^2,3y^2,2xz). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos usar teoria de campos conservativos e função potencial para resolver.

Passo 2

Para verificar se F é conservativo, calculamos o rotacional nablatimes F. Como P=z^2,,Q=3y^2,,R=2xz, temos
(nablatimes F)1=partial Rpartial y-partial Qpartial z=0-0=0,
(nablatimes F)2=partial Ppartial z-partial Rpartial x=2z-2z=0,
(nablatimes F)3=partial Qpartial x-partial Ppartial y=0-0=0
Como nablatimes F=0 em R^3, o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial f(x,y,z) tal que nabla f=F. Integrando partial f/partial x=z^2 obtemos f=xz^2+g(y,z). Em seguida partial f/partial y=3y^2 g(y,z)=y^3+h(z). Por fim partial f/partial z=2xz+h'(z) deve ser 2xz, logo h'(z)=0. Assim
f(x,y,z)=x z^2+y^3+const

Passo 4

Seja o ponto inicial A=(raiz2pi,0,0) e o ponto final B=(0,0,2pi). O trabalho é
W=f(B)-f(A)=(0cdot(2pi)^2+0^3)-(raiz2picdot0^2+0^3)=0

Resposta

O trabalho realizado pelo ciclista é 0.

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