Derive as funções abaixo, utilizando as regras de derivação estudadas.
g(x)=(x+1) cos (x)e^x+pi, x in R

Passo 1

Temos a função g(x) = (x+1)cos(x)e^x + pi. O conteúdo aqui envolve a regra do quociente, a regra do produto e a derivada de e^x. Vamos primeiro identificar numerador e denominador.

Passo 2

Definimos o numerador f(x) = (x+1)cos(x) e o denominador h(x) = e^x + pi. Precisamos calcular f'(x) e h'(x).

Passo 3

Para calcular f'(x), usamos a regra do produto: seja u(x)=x+1 e v(x)=cos(x). Então u'(x)=1 e v'(x)=-sin(x). Logo,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1cdotcos(x)+(x+1)(-sin(x))=cos(x)-(x+1)sin(x)

Passo 4

A derivada do denominador é direta, pois h(x)=e^x+pi e pi é constante. Logo,
h'(x)=e^x

Passo 5

Aplicamos agora a regra do quociente:
g'(x)=f'(x),h(x)-f(x),h'(x)[h(x)]^2

Passo 6

Substituindo f, f', h, h' obtemos:
g'(x)=l(cos(x)-(x+1)sin(x)r),(e^x+pi)-(x+1)cos(x),e^x(e^x+pi)^2

Resposta

g'(x)=l(cos(x)-(x+1)sin(x)r)(e^x+pi)-(x+1)cos(x)e^x(e^x+pi)^2

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