Pode-se provar que os números pi, e, pi. e são irracionais. Com base nessa afirmação mostre que um dos números pi+e, pi^2-e^2 é irracional.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de números irracionais. Sabe quando um número não pode ser escrito como uma fração simples? Isso é o que chamamos de número irracional. A questão diz que os números pi, e e pi cdot e são irracionais. A tarefa é mostrar que pelo menos um dos números pi + e ou pi^2 - e^2 também é irracional. Para resolver isso, vamos usar propriedades de números irracionais e algumas manhas de álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que ambos pi + e e pi^2 - e^2 sejam racionais. A ideia aqui é usar uma técnica comum em matemática: assumir que a coisa que queremos provar é falsa e chegar a uma contradição. Se conseguirmos isso, então nossa suposição inicial está errada, o que significa que pelo menos um dos números deve ser irracional.

Passo 3

Sabemos que pi cdot e é irracional. Agora, vamos trabalhar com pi^2 - e^2. Podemos reescrever esse termo usando a diferença de quadrados:
pi^2 - e^2 = (pi + e)(pi - e)
Como estamos assumindo que pi + e é racional, se conseguirmos mostrar que pi - e também seria racional, a multiplicação de dois racionais daria um racional, mas isso entraria em conflito com o fato de que pi cdot e é irracional.

Passo 4

No passo anterior, mostramos que:
pi^2 - e^2 = (pi + e)(pi - e)
Se assumirmos que pi + e é racional e também que pi^2 - e^2 é racional, então pi - e deveria ser racional, já que é a divisão de dois racionais. Mas sabemos que pi cdot e é irracional, e se pi - e fosse racional, isso criaria uma combinação que levaria a pi e e serem ambos racionais, o que é falso.

Passo 5

Como nossa suposição de que ambos pi + e e pi^2 - e^2 são racionais leva a uma contradição, concluímos que pelo menos um deles deve ser irracional. Ou seja, pelo menos um dos números pi + e ou pi^2 - e^2 é irracional.

Resposta

Pelo menos um dos números pi + e ou pi^2 - e^2 é irracional.

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