Pode-se provar que os números
.
são irracionais. Com base nessa afirmação mostre que um dos números
é irracional.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de números irracionais. Sabe quando um número não pode ser escrito como uma fração simples? Isso é o que chamamos de número irracional. A questão diz que os números
,
e
são irracionais. A tarefa é mostrar que pelo menos um dos números
ou
também é irracional. Para resolver isso, vamos usar propriedades de números irracionais e algumas manhas de álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que ambos
e
sejam racionais. A ideia aqui é usar uma técnica comum em matemática: assumir que a coisa que queremos provar é falsa e chegar a uma contradição. Se conseguirmos isso, então nossa suposição inicial está errada, o que significa que pelo menos um dos números deve ser irracional.
Passo 3
Sabemos que
é irracional. Agora, vamos trabalhar com
. Podemos reescrever esse termo usando a diferença de quadrados:
Como estamos assumindo que
é racional, se conseguirmos mostrar que
também seria racional, a multiplicação de dois racionais daria um racional, mas isso entraria em conflito com o fato de que
é irracional.
Passo 4
No passo anterior, mostramos que:
Se assumirmos que
é racional e também que
é racional, então
deveria ser racional, já que é a divisão de dois racionais. Mas sabemos que
é irracional, e se
fosse racional, isso criaria uma combinação que levaria a
e
serem ambos racionais, o que é falso.
Passo 5
Como nossa suposição de que ambos
e
são racionais leva a uma contradição, concluímos que pelo menos um deles deve ser irracional. Ou seja, pelo menos um dos números
ou
é irracional.
Resposta
Pelo menos um dos números
ou
é irracional.