Sejam f:[-1,1] R uma função contínua tal que f(-1)=-1 e f(1)=-4 e g(x)=|f(x)|-3. Determine se cada uma das afirmações abaixo: é sempre verdadeira, pode ser verdadeira ou nunca é verdadeira.
A equação g(x)=0 tem solução no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f:[-1,1]toR com f(-1)=-1 e f(1)=-4, e define g(x)=|f(x)|-3. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para ver se g(x)=0 tem raiz.

Passo 2

Como f é contínua em [-1,1], a composição |f(x)| também é contínua. Logo, g(x)=|f(x)|-3 é contínua em [-1,1]. Avaliamos nos extremos:

Passo 3

Em x=-1 temos (g(-1)=|f(-1)|-3=|{-1}|-3=1-3=-2\
Em x=1 temos (g(1)=|f(1)|-3=|{-4}|-3=4-3=1\
Como g(-1)<0 e g(1)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin[-1,1] tal que g(c)=0.

Resposta

Sempre verdadeira

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