O departamento de parques e jardins de uma prefeitura pretende construir um parque retangular com uma área de 3600 metros quadrados. O parque será cercado. Expresse o comprimento da cerca em função do comprimento de um dos lados do parque.

Passo 1

O enunciado pede que expressemos o comprimento da cerca que vai contornar um parque retangular em função do comprimento de um dos lados do parque.
Informações dadas:
  • A área do parque é 3600 metros quadrados.
  • O parque é retangular e será cercado (precisamos do comprimento total da cerca, isto é, do perímetro).
    Não se pede otimização, apenas uma expressão funcional que dê o comprimento da cerca a partir do comprimento de um lado.

Passo 2

Vamos definir as variáveis de forma simples e explícita (isso é importantíssimo para não se confundir na prova):
  • Seja x o comprimento de um dos lados do retângulo, em metros.
  • Seja y o comprimento do outro lado do retângulo, em metros.
    O que queremos escrever é o perímetro P (comprimento da cerca) em função de x.

Passo 3

Relembrando a fórmula da área de um retângulo: a área é o produto dos comprimentos dos lados. Ou seja, para nosso retângulo vale a fórmula
\text{Área} = x\cdot y.Á
Aqui x e y são os comprimentos dos dois lados adjacentes do retângulo. No problema sabemos que a área é 3600, portanto temos a equação
x\cdot y = 3600.

Passo 4

A partir de x\cdot y = 3600 isolamos y para poder escrever tudo em função de x. Dividindo ambos os lados por x (e lembrando que x não pode ser zero, pois é um comprimento positivo) obtemos
y=\frac{3600}{x}.
Aqui expliquei a operação: dividir significa encontrar o outro lado que, multiplicado por x, dá 3600.

Passo 5

Agora relembramos a fórmula do perímetro de um retângulo. O perímetro P é a soma de todos os lados; como os lados opostos são iguais, temos
P=2x+2y.
Nesta fórmula 2x representa a soma dos dois lados de comprimento x e 2y a soma dos dois lados de comprimento y.

Passo 6

Substituímos na fórmula do perímetro o valor de y que encontramos no Passo 4. Fazendo a substituição:
P = 2x + 2\left(\frac{3600}{x}\right).

Passo 7

Podemos escrever a expressão de forma um pouco mais compacta, distribuindo o 2 ou deixando em fator comum. As duas formas equivalentes são
P(x)=2\left(x+\frac{3600}{x}\right)
ou
P(x)=2x+\frac{7200}{x}.
Também é importante anotar o domínio físico da função: x>0 (um comprimento deve ser positivo).

Resposta

P(x)=2\left(x+\frac{3600}{x}\right),\quad x>0

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