O departamento de parques e jardins de uma prefeitura pretende construir um parque retangular com uma área de 3600 metros quadrados. O parque será cercado. Expresse o comprimento da cerca em função do comprimento de um dos lados do parque.
Passo 1
O enunciado pede que expressemos o comprimento da cerca que vai contornar um parque retangular em função do comprimento de um dos lados do parque.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A área do parque é
metros quadrados. - O parque é retangular e será cercado (precisamos do comprimento total da cerca, isto é, do perímetro).
Não se pede otimização, apenas uma expressão funcional que dê o comprimento da cerca a partir do comprimento de um lado.
Passo 2
Vamos definir as variáveis de forma simples e explícita (isso é importantíssimo para não se confundir na prova):
- Seja
o comprimento de um dos lados do retângulo, em metros. - Seja
o comprimento do outro lado do retângulo, em metros.
O que queremos escrever é o perímetro(comprimento da cerca) em função de .
Passo 3
Relembrando a fórmula da área de um retângulo: a área é o produto dos comprimentos dos lados. Ou seja, para nosso retângulo vale a fórmula
Aqui
e
são os comprimentos dos dois lados adjacentes do retângulo. No problema sabemos que a área é
, portanto temos a equação
Passo 4
A partir de
isolamos
para poder escrever tudo em função de
. Dividindo ambos os lados por
(e lembrando que
não pode ser zero, pois é um comprimento positivo) obtemos
Aqui expliquei a operação: dividir significa encontrar o outro lado que, multiplicado por
, dá
.
Passo 5
Agora relembramos a fórmula do perímetro de um retângulo. O perímetro
é a soma de todos os lados; como os lados opostos são iguais, temos
Nesta fórmula
representa a soma dos dois lados de comprimento
e
a soma dos dois lados de comprimento
.
Passo 6
Substituímos na fórmula do perímetro o valor de
que encontramos no Passo 4. Fazendo a substituição:
Passo 7
Podemos escrever a expressão de forma um pouco mais compacta, distribuindo o
ou deixando em fator comum. As duas formas equivalentes são
ou
Também é importante anotar o domínio físico da função:
(um comprimento deve ser positivo).