Expresse a área de um jardim retangular cujo perímetro é 320 metros em função do comprimento de um dos lados. Desenhe o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) expressar a área de um jardim retangular em função do comprimento de um dos lados e (2) desenhar o gráfico dessa função.
Informações dadas: o perímetro do retângulo é metros. Não há outras informações numéricas. Vou usar essas informações para montar a função área em função de um lado e depois descrever/representar o gráfico.
Informações dadas: o perímetro do retângulo é
Passo 2
Definimos variáveis claras (sempre faça isso numa prova para não se confundir): seja
o comprimento de um dos lados do retângulo (em metros) e seja
o comprimento do outro lado (em metros). A área do retângulo será chamada de
(em metros quadrados). Aqui
e
são números positivos porque são medidas de comprimento.
Passo 3
Escrevemos a relação do perímetro em termos de
e
. O perímetro
de um retângulo é a soma de todos os lados, ou seja:
Como o enunciado diz que o perímetro é
metros, temos:
Agora resolvemos essa equação para
(isso é útil para escrever a área só em função de
). Dividindo ambos os lados por
:
Subtraindo
dos dois lados:
Comentário didático: fizemos operações algébricas básicas (dividir por 2 e isolar
). Sempre verifique unidades: aqui tudo está em metros.
Passo 4
Agora usamos a fórmula da área do retângulo. A área
é o produto dos lados:
Substituímos a expressão que encontramos para
:
Multiplicando os termos (distribuindo):
Explicação didática: obtivemos uma função quadrática em
. Ou seja, a área expressa como função do lado
é uma parábola.
Passo 5
Analisando o domínio físico da função: como
e
são comprimentos positivos, precisamos de
e
. Usando
, a condição
vira
, ou seja
. Portanto, o domínio físico é
Observação: matematicamente podemos considerar os extremos
e
(que dão área zero), mas fisicamente são degraus sem jardim. Em provas normalmente é aceitável dizer o domínio útil
para desenho do gráfico e
para medidas estritamente positivas.
Passo 6
Encontramos os pontos importantes da parábola (esses pontos ajudam a desenhar o gráfico sem calculadora):
- Zeros (interseções com o eixo
): resolvemos .
Logo a parábola corta o eixo
em
e
.
- Interseção com o eixo
(valor de em ): . (Já vimos isso.)
Passo 7
Encontrar o vértice da parábola (o ponto onde a área é máxima, porque a parábola abre para baixo): para uma função quadrática na forma
o valor de
que dá o vértice é
Aqui temos
,
e
. Então
Calculamos a área máxima substituindo
em
:
Didática alternativa (completar o quadrado): podemos reescrever
o que mostra explicitamente que o máximo é
atingido em
. Conclusão física: o retângulo de maior área dado o perímetro fixo é um quadrado de lado
m e área
m
.
Passo 8
Desenho / descrição do gráfico (como fazer no papel sem calculadora):
- Eixos: abscissas
em metros (de a ); ordenadas em metros quadrados (de a ). - Forma: parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo). - Pontos-chave a marcar:
- Pontos de simetria: por exemplo
e têm mesma área:
- Esboço rápido (coloque os três pontos-chave e ligue por uma curva suave em forma de
): centro de simetria em , vértice em . Se precisar desenhar com escala: 1 cm no eixo pode representar m (logo m → cm) e no eixo escolha uma escala que permita representar (por exemplo 1 cm → m , então → cm).