Expresse a área de um jardim retangular cujo perímetro é 320 metros em função do comprimento de um dos lados. Desenhe o gráfico da função.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) expressar a área de um jardim retangular em função do comprimento de um dos lados e (2) desenhar o gráfico dessa função.
Informações dadas: o perímetro do retângulo é 320 metros. Não há outras informações numéricas. Vou usar essas informações para montar a função área em função de um lado e depois descrever/representar o gráfico.

Passo 2

Definimos variáveis claras (sempre faça isso numa prova para não se confundir): seja x o comprimento de um dos lados do retângulo (em metros) e seja y o comprimento do outro lado (em metros). A área do retângulo será chamada de A (em metros quadrados). Aqui x e y são números positivos porque são medidas de comprimento.

Passo 3

Escrevemos a relação do perímetro em termos de x e y. O perímetro P de um retângulo é a soma de todos os lados, ou seja:
P = 2(x+y).
Como o enunciado diz que o perímetro é 320 metros, temos:
2(x+y)=320.
Agora resolvemos essa equação para y (isso é útil para escrever a área só em função de x). Dividindo ambos os lados por 2:
x+y=160.
Subtraindo x dos dois lados:
y=160-x.
Comentário didático: fizemos operações algébricas básicas (dividir por 2 e isolar y). Sempre verifique unidades: aqui tudo está em metros.

Passo 4

Agora usamos a fórmula da área do retângulo. A área A é o produto dos lados:
A = x\cdot y.
Substituímos a expressão que encontramos para y:
A(x)=x(160-x).
Multiplicando os termos (distribuindo):
A(x) = -x^{2} + 160x.
Explicação didática: obtivemos uma função quadrática em x. Ou seja, a área expressa como função do lado x é uma parábola.

Passo 5

Analisando o domínio físico da função: como x e y são comprimentos positivos, precisamos de x>0 e y>0. Usando y=160-x, a condição y>0 vira 160-x>0, ou seja x<160. Portanto, o domínio físico é
0<x<160.
Observação: matematicamente podemos considerar os extremos x=0 e x=160 (que dão área zero), mas fisicamente são degraus sem jardim. Em provas normalmente é aceitável dizer o domínio útil [0,160] para desenho do gráfico e (0,160) para medidas estritamente positivas.

Passo 6

Encontramos os pontos importantes da parábola (esses pontos ajudam a desenhar o gráfico sem calculadora):
  • Zeros (interseções com o eixo x): resolvemos A(x)=0.
x(160-x)=0 \Rightarrow x=0 \\ \text{ou}\\ x=160.
Logo a parábola corta o eixo x em x=0 e x=160.
  • Interseção com o eixo y (valor de A em x=0): A(0)=0. (Já vimos isso.)

Passo 7

Encontrar o vértice da parábola (o ponto onde a área é máxima, porque a parábola abre para baixo): para uma função quadrática na forma
A(x)=ax^{2}+bx+c,
o valor de x que dá o vértice é
x_{v}=-\frac{b}{2a}.
Aqui temos a=-1, b=160 e c=0. Então
x_{v}=-\frac{160}{2\cdot(-1)}=80.
Calculamos a área máxima substituindo x=80 em A(x)=x(160-x):
A(80)=80(160-80)=80\cdot80=6400.
Didática alternativa (completar o quadrado): podemos reescrever
A(x)=-x^{2}+160x = -\bigl(x^{2}-160x\bigr) = -\bigl((x-80)^{2}-6400\bigr) = - (x-80)^{2} + 6400,
o que mostra explicitamente que o máximo é 6400 atingido em x=80. Conclusão física: o retângulo de maior área dado o perímetro fixo é um quadrado de lado 80 m e área 6400 m ^2.

Passo 8

Desenho / descrição do gráfico (como fazer no papel sem calculadora):
  • Eixos: abscissas x em metros (de 0 a 160); ordenadas A em metros quadrados (de 0 a 6400).
  • Forma: parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de x^{2} é negativo).
  • Pontos-chave a marcar: (0,0),\quad (80,6400),\quad (160,0).
  • Pontos de simetria: por exemplo x=40 e x=120 têm mesma área:
A(40)=40(120)=4800,\qquad A(120)=120(40)=4800.
  • Esboço rápido (coloque os três pontos-chave e ligue por uma curva suave em forma de \cap): centro de simetria em x=80, vértice em A=6400. Se precisar desenhar com escala: 1 cm no eixo x pode representar 10 m (logo 160 m → 16 cm) e no eixo y escolha uma escala que permita representar 6400 (por exemplo 1 cm → 400 m ^2, então 6400 16 cm).

Resposta

A(x)=x(160-x)=-x^{2}+160x para 0<x<160.\nO gráfico é uma parábola que abre para baixo com zeros em x=0 e x=160 e vértice em (80,6400) — máxima área 6400 m ^2 quando o lado escolhido vale 80 m.

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