Um terreno em formato retangular tem perímetro igual a 40 m .
(a) Expresse a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados (não se esqueça de determinar o domínio).
(b) Construa o gráfico dessa função.
(c) Determine as dimensões desse terreno para que a área seja máxima.

Passo 1

O enunciado dá um terreno retangular com perímetro igual a 40\\ \text{m} e pede três coisas:
  1. (a) Expressar a área em função do comprimento de um dos lados e determinar o domínio dessa função.
  2. (b) Construir (descrever) o gráfico dessa função.
  3. (c) Determinar as dimensões do terreno para que a área seja máxima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Perímetro} = 40\\ \text{m}.í
Chamarei os lados do retângulo de x e y, ambos medidos em metros, e vou tomar x como a variável independente (o comprimento “de um dos lados” pedido).

Passo 2

Relacionando perímetro e lados: para um retângulo o perímetro P satisfaz
P = 2(x+y).
Como P=40\\ \text{m}, substituo:
2(x+y)=40.
Isolo y para expressá-lo em função de x: divido por 2 e passo x pro outro lado,
x+y=20 \quad\Longrightarrow\quad y=20-x.
Esse passo é só álgebra básica: isolamos a variável para poder escrever a área apenas em função de x.

Passo 3

Fórmula da área de um retângulo: área A é o produto dos lados,
A = x\cdot y.
Substituo y=20-x da etapa anterior:
A(x)=x(20-x).
Multiplicando os termos:
A(x)=20x - x^{2}.
Aqui A(x) dá a área em metros quadrados quando x está em metros. Esta é uma função quadrática (polinômio de segundo grau) em x.

Passo 4

Determinar o domínio físico: os comprimentos x e y devem ser não negativos. Como y=20-x, exigimos x\ge 0 e 20-x\ge 0. Isso dá
0\le x\le 20.
Se quisermos excluir retângulos degenerados (lado nulo), podemos tomar o domínio estrito
0<x<20.
Na prática, tanto [0,20] (incluindo degenerados com área 0) quanto (0,20) (somente retângulos com área positiva) fazem sentido; vou adotar o domínio físico fechado [0,20] e observar que para retângulos não-degenerados o domínio é (0,20).

Passo 5

Análise do formato da função para desenhar o gráfico: temos
A(x)=-x^{2}+20x.
É um polinômio quadrático com coeficiente de x^{2} negativo ( -1), portanto é uma parábola que se abre para baixo — isso significa que a função tem um máximo (no vértice) e interceptos com o eixo x.
Encontro os interceptos com o eixo x resolvendo A(x)=0:
x(20-x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=20.
Portanto o gráfico cruza o eixo x nos pontos (0,0) e (20,0) (note que as coordenadas estão em (x,A): A(0)=0 e A(20)=0).

Passo 6

Achar o vértice (ponto de máximo) pela técnica de completar o quadrado — método elementar e que dá a posição e o valor máximo sem cálculo diferencial.
Começo com
A(x)=-x^{2}+20x.
Fatorando -1 do termo quadrático:
A(x)=-(x^{2}-20x).
Complete o quadrado dentro do parêntese: lembrando que x^{2}-20x=(x-10)^{2}-100 porque (x-10)^{2}=x^{2}-20x+100. Então
A(x)= -\bigl((x-10)^{2}-100\bigr).
Distribuo o sinal negativo:
A(x)= - (x-10)^{2} + 100.
Essa forma é muito informativa: é uma parábola com vértice no ponto onde (x-10)^{2}=0, ou seja em x=10, e o valor da área nesse vértice é 100. Logo o vértice é o ponto (10,100).
Interpretação: como a parábola abre para baixo, o vértice é um máximo. Assim a área máxima é 100\\ \text{m}^{2} ocorrendo quando x=10\\ \text{m}. Calculando y correspondente,
y=20-x=20-10=10\\ \text{m}.

Passo 7

Interpretação final e observação útil: as dimensões que maximizam a área, dadas restrição de perímetro fixo, formam um quadrado de lado 10\\ \text{m}. Isso é um resultado geral (intuitivo e demonstrável): entre todos os retângulos com perímetro fixo, o quadrado tem a maior área. Aqui vimos isso concretamente ao encontrar o vértice da parábola.

Resposta

(a) A(x)=20x-x^{2}, com domínio físico [0,20] (ou (0,20) se excluir retângulos degenerados).\n
(b) Gráfico: parábola que abre para baixo dada por A(x)=-x^{2}+20x, interceptos em x=0 e x=20, vértice em (10,100) (máximo), eixo de simetria x=10.\n
(c) Dimensões para área máxima: x=10\\ \text{m} e y=10\\ \text{m} (área máxima 100\\ \text{m}^{2}).

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