O departamento de qualidade de uma indústria está analisando a espessura da camada de verniz (em mícron) em faróis. Uma amostra de 7 elementos forneceu os seguintes valores: 28 ; 25 ; 20 ; 24 ; 19 ; 20 e 27. Supondo que a espessura da camada de verniz tenha distribuição normal, construa um intervalo com 90% de confiança para a espessura média da camada de verniz.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre como calcular um intervalo de confiança para a média de uma população que segue uma distribuição normal. No caso, o departamento de qualidade quer saber qual é a média da espessura da camada de verniz nos faróis, baseado em uma amostra de 7 peças. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão, e usar a distribuição t de Student porque a amostra é pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos na amostra.
Valores da amostra: 28, 25, 20, 24, 19, 20, 27.
barx = 28 + 25 + 20 + 24 + 19 + 20 + 277 = 1637 approx 23,29 , microns

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos mostra o quanto os valores estão espalhados em torno da média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular passo a passo:
(x1 - barx)^2 &= (28 - 23,29)^2 approx 22,15 (x2 - barx)^2 &= (25 - 23,29)^2 approx 2,92 (x3 - barx)^2 &= (20 - 23,29)^2 approx 10,83 (x4 - barx)^2 &= (24 - 23,29)^2 approx 0,50 (x5 - barx)^2 &= (19 - 23,29)^2 approx 18,43 (x6 - barx)^2 &= (20 - 23,29)^2 approx 10,83 (x7 - barx)^2 &= (27 - 23,29)^2 approx 13,79
Somando tudo:
sum (xi - barx)^2 approx 22,15 + 2,92 + 10,83 + 0,50 + 18,43 + 10,83 + 13,79 approx 78,54
Agora, calculamos o desvio padrão:
s = raiz78,547 - 1 = raiz78,546 approx raiz13,09 approx 3,62 , microns

Passo 4

Como a amostra é pequena (n = 7) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico correspondente a um nível de confiança de 90%. Os graus de liberdade aqui são n - 1 = 6.
Consultando a tabela t de Student para 90% de confiança e 6 graus de liberdade, encontramos o valor crítico t ≈ 1,943.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão da amostra dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
SE = sraizn = 3,62raiz7 approx 3,622,65 approx 1,37 , microns

Passo 6

Com o erro padrão e o valor crítico t, podemos calcular a margem de erro.
ME = t times SE = 1,943 times 1,37 approx 2,66 , microns

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média da amostra.
Intervalo de Confiança = barx pm ME = 23,29 pm 2,66 ç
Isso nos dá:
[20,63 , microns, , 25,95 , microns]

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a espessura média da camada de verniz é entre aproximadamente 20,63 microns e 25,95 microns.

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