O departamento de qualidade de uma indústria está analisando a espessura da camada de verniz (em mícron) em faróis. Uma amostra de 7 elementos forneceu os seguintes valores: 28 ; 25 ; 20 ; 24 ; 19 ; 20 e 27. Supondo que a espessura da camada de verniz tenha distribuição normal, construa um intervalo com 90% de confiança para a espessura média da camada de verniz.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre como calcular um intervalo de confiança para a média de uma população que segue uma distribuição normal. No caso, o departamento de qualidade quer saber qual é a média da espessura da camada de verniz nos faróis, baseado em uma amostra de 7 peças. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão, e usar a distribuição t de Student porque a amostra é pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos na amostra.
Valores da amostra: 28, 25, 20, 24, 19, 20, 27.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos mostra o quanto os valores estão espalhados em torno da média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
Vamos calcular passo a passo:
Somando tudo:
Agora, calculamos o desvio padrão:
Passo 4
Como a amostra é pequena (n = 7) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico correspondente a um nível de confiança de 90%. Os graus de liberdade aqui são n - 1 = 6.
Consultando a tabela t de Student para 90% de confiança e 6 graus de liberdade, encontramos o valor crítico t ≈ 1,943.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão da amostra dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
Passo 6
Com o erro padrão e o valor crítico t, podemos calcular a margem de erro.
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média da amostra.
Isso nos dá:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para a espessura média da camada de verniz é entre aproximadamente 20,63 microns e 25,95 microns.