O departamento de qualidade de uma indústria está analisando a espessura da camada de verniz (em mícron) em faróis. Uma amostra de 7 elementos forneceu os seguintes valores: 28 ; 25 ; 20 ; 24 ; 19 ; 20 e 27. Supondo que a espessura da camada de verniz tenha distribuição normal, se é determinado que esta espessura deve ser superior a 20 mícron, você diria que a camada de verniz está, em média, atendendo às necessidades? Por quê?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma amostra de 7 faróis com diferentes espessuras de verniz em mícrons: 28, 25, 20, 24, 19, 20 e 27. A matéria envolvida aqui é Estatística, especificamente análise de média de uma população quando a distribuição é normal. Precisamos verificar se, em média, a espessura do verniz está acima de 20 mícrons, que é o requisito estabelecido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos.
Média = 28 + 25 + 20 + 24 + 19 + 20 + 277 é
\

Passo 3

Vamos fazer as contas:
28 + 25 = 53 53 + 20 = 73 73 + 24 = 97 97 + 19 = 116 116 + 20 = 136 136 + 27 = 163
Então,
Média = 1637 approx 23,29 mícrons éí

Passo 4

Agora, precisamos determinar se essa média de aproximadamente 23,29 mícrons é significativamente maior que 20 mícrons. Para isso, vamos realizar um teste de hipótese. A hipótese nula ( H0) é que a média é igual a 20 mícrons, e a hipótese alternativa ( H1) é que a média é maior que 20 mícrons.

Passo 5

Como a população tem distribuição normal e o tamanho da amostra é pequeno (n=7), usaremos o teste t de Student. Primeiro, precisamos calcular o desvio padrão da amostra.
Calculamos a variância:
Variância = sum (xi - barx)^2n-1 â
Onde xi são os valores da amostra e barx é a média.

Passo 6

Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
(28 - 23,29)^2 approx 22,19 (25 - 23,29)^2 approx 2,92 (20 - 23,29)^2 approx 10,82 (24 - 23,29)^2 approx 0,51 (19 - 23,29)^2 approx 18,39 (20 - 23,29)^2 approx 10,82 (27 - 23,29)^2 approx 13,86
Somando esses valores:
22,19 + 2,92 + 10,82 + 0,51 + 18,39 + 10,82 + 13,86 approx 78,51
Então,
Variância = 78,516 approx 13,08 Desvio Padrão approx raiz13,08 approx 3,62 mícrons âãí

Passo 7

Agora, calculamos o valor t usando a fórmula:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx = 23,29
  • mu0 = 20
  • s = 3,62
  • n = 7
Substituindo:
t = 23,29 - 203,62 / raiz7 approx 3,291,368 approx 2,41

Passo 8

Agora, precisamos comparar esse valor de t com o valor crítico da distribuição t para 6 graus de liberdade (n-1) e um nível de significância, geralmente 5%. Olhando uma tabela t, o valor crítico para 6 graus de liberdade e teste unilateral a 5% é aproximadamente 1,943.

Passo 9

Como nosso valor calculado de t (2,41) é maior que o valor crítico (1,943), rejeitamos a hipótese nula H0.

Resposta

Sim, a média da espessura da camada de verniz está acima de 20 mícrons, atendendo às necessidades estabelecidas.

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