O departamento de qualidade de uma indústria está analisando a espessura da camada de verniz (em mícron) em faróis. Uma amostra de 7 elementos forneceu os seguintes valores: 28 ; 25 ; 20 ; 24 ; 19 ; 20 e 27. Supondo que a espessura da camada de verniz tenha distribuição normal, se é determinado que esta espessura deve ser superior a 20 mícron, você diria que a camada de verniz está, em média, atendendo às necessidades? Por quê?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma amostra de 7 faróis com diferentes espessuras de verniz em mícrons: 28, 25, 20, 24, 19, 20 e 27. A matéria envolvida aqui é Estatística, especificamente análise de média de uma população quando a distribuição é normal. Precisamos verificar se, em média, a espessura do verniz está acima de 20 mícrons, que é o requisito estabelecido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos.
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Passo 3
Vamos fazer as contas:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos determinar se essa média de aproximadamente 23,29 mícrons é significativamente maior que 20 mícrons. Para isso, vamos realizar um teste de hipótese. A hipótese nula (
) é que a média é igual a 20 mícrons, e a hipótese alternativa (
) é que a média é maior que 20 mícrons.
Passo 5
Como a população tem distribuição normal e o tamanho da amostra é pequeno (n=7), usaremos o teste t de Student. Primeiro, precisamos calcular o desvio padrão da amostra.
Calculamos a variância:
Onde
são os valores da amostra e
é a média.
Passo 6
Vamos calcular cada
:
Somando esses valores:
Então,
Passo 7
Agora, calculamos o valor t usando a fórmula:
Onde:
Substituindo:
Passo 8
Agora, precisamos comparar esse valor de t com o valor crítico da distribuição t para 6 graus de liberdade (n-1) e um nível de significância, geralmente 5%. Olhando uma tabela t, o valor crítico para 6 graus de liberdade e teste unilateral a 5% é aproximadamente 1,943.
Passo 9
Como nosso valor calculado de t (2,41) é maior que o valor crítico (1,943), rejeitamos a hipótese nula
.
Resposta
Sim, a média da espessura da camada de verniz está acima de 20 mícrons, atendendo às necessidades estabelecidas.