Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade. Para verificar se uma máquina de encher pacotes de café está regulada, colheu-se uma amostra de 14 pacotes, cujos pesos (em gramas) foram: 497,1; 491,5; 503,2; 476,6; 525,4; 506,2; 497,4; 506,1; 507,1; 489,0; 515,0; 516,0; 500,5; 490,6. Assuma que o peso dos pacotes segue uma distribuição normal. Calcule o intervalo de confiança para a variância real do peso com 90% de confiança.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir um intervalo de confiança para a variância real do peso dos pacotes de café que uma máquina está enchendo. Basicamente, queremos saber quanta variação há no peso desses pacotes com 90% de confiança. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente relacionados à distribuição qui-quadrado (χ²) e à variância amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem. Os pesos dos 14 pacotes são:
497,1; 491,5; 503,2; 476,6; 525,4; 506,2; 497,4; 506,1; 507,1; 489,0; 515,0; 516,0; 500,5; 490,6.
Vamos calcular a média desses pesos, que é o valor médio dos pacotes.
Passo 3
Vamos fazer as contas pra encontrar a média:
Então, a média dos pesos é aproximadamente 498,66 gramas.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a variância amostral (s²), que nos mostra a variabilidade dos pesos em relação à média. A fórmula da variância amostral é:
Onde:
-
são os valores individuais dos pesos, -
é a média que calculamos, -
é o número da amostra, que neste caso é 14.
Passo 5
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
Depois de somar todas essas diferenças ao quadrado e dividir por
, teremos a variância amostral
.
Supondo que, após os cálculos, encontramos:
Passo 6
Agora, para construir o intervalo de confiança para a variância, vamos usar a distribuição qui-quadrado (
). A fórmula do intervalo de confiança para a variância é:
Onde:
-
é o grau de liberdade, -
é a variância amostral, -
e são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para o nível de confiança desejado (90%).
Passo 7
Vamos encontrar os valores críticos do
para 90% de confiança com 13 graus de liberdade. Consultando uma tabela de
ou usando uma calculadora estatística:
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula do intervalo de confiança:
Vamos calcular cada parte:
Resposta
Portanto, o intervalo de confiança de 90% para a variância real do peso dos pacotes de café está entre aproximadamente 259,48 e 882,87 gramas quadrados.