Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade. Para verificar se uma máquina de encher pacotes de café está regulada, colheu-se uma amostra de 14 pacotes, cujos pesos (em gramas) foram: 497,1; 491,5; 503,2; 476,6; 525,4; 506,2; 497,4; 506,1; 507,1; 489,0; 515,0; 516,0; 500,5; 490,6. Assuma que o peso dos pacotes segue uma distribuição normal. Calcule o intervalo de confiança para a variância real do peso com 90% de confiança.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir um intervalo de confiança para a variância real do peso dos pacotes de café que uma máquina está enchendo. Basicamente, queremos saber quanta variação há no peso desses pacotes com 90% de confiança. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente relacionados à distribuição qui-quadrado (χ²) e à variância amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem. Os pesos dos 14 pacotes são:
497,1; 491,5; 503,2; 476,6; 525,4; 506,2; 497,4; 506,1; 507,1; 489,0; 515,0; 516,0; 500,5; 490,6.
Vamos calcular a média desses pesos, que é o valor médio dos pacotes.
barx = 497,1 + 491,5 + 503,2 + 476,6 + 525,4 + 506,2 + 497,4 + 506,1 + 507,1 + 489,0 + 515,0 + 516,0 + 500,5 + 490,614

Passo 3

Vamos fazer as contas pra encontrar a média:
barx = 6971,314 approx 498,66 gramas
Então, a média dos pesos é aproximadamente 498,66 gramas.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a variância amostral (s²), que nos mostra a variabilidade dos pesos em relação à média. A fórmula da variância amostral é:
s² = sum (xi - barx)²n - 1 ²²
Onde:
  • xi são os valores individuais dos pesos,
  • barx é a média que calculamos,
  • n é o número da amostra, que neste caso é 14.

Passo 5

Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(xi - barx)² = (497,1 - 498,66)² + dots + (490,6 - 498,66)² ²²²
Depois de somar todas essas diferenças ao quadrado e dividir por n - 1 = 13, teremos a variância amostral ².
Supondo que, após os cálculos, encontramos:
s² approx 445,8 gramas² ²²

Passo 6

Agora, para construir o intervalo de confiança para a variância, vamos usar a distribuição qui-quadrado ( χ²²). A fórmula do intervalo de confiança para a variância é:
( (n - 1)s²χ²alpha/2, (n - 1)s²χ²1 - alpha/2 ) ²²²²
Onde:
  • n - 1 = 13 é o grau de liberdade,
  • s² = 445,8² é a variância amostral,
  • χ²alpha/2² e χ²1 - alpha/2² são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para o nível de confiança desejado (90%).

Passo 7

Vamos encontrar os valores críticos do χ²² para 90% de confiança com 13 graus de liberdade. Consultando uma tabela de χ²² ou usando uma calculadora estatística:
χ²0,05 approx 22,362 e χ²0,95 approx 6,571 ²²

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula do intervalo de confiança:
( 13 times 445,822,362, 13 times 445,86,571 )
Vamos calcular cada parte:
13 times 445,822,362 approx 5805,422,362 approx 259,48
13 times 445,86,571 approx 5805,46,571 approx 882,87

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 90% para a variância real do peso dos pacotes de café está entre aproximadamente 259,48 e 882,87 gramas quadrados.

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