Sabe-se, por experiência, que o tempo necessário para que funcionários de uma fábrica montem certo brinquedo segue uma distribuição normal com média mu (desconhecida) e desvio padrão igual a 7 minutos. Após selecionar 49 funcionários ao acaso, encontrou-se que o tempo médio para montar o brinquedo foi de 15 minutos. Qual deve ser o tamanho da amostra para que tenhamos 96 % de confiança de que sua média amostral esteja a menos de 2 minutos de mu?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de estatística que envolve a distribuição normal. A gente sabe que o tempo que os funcionários levam para montar um brinquedo segue uma distribuição normal com média desconhecida (μ) e desvio padrão de 7 minutos. Selecionamos 49 funcionários ao acaso e descobrimos que o tempo médio foi de 15 minutos. A pergunta é: qual o tamanho da amostra que precisamos para ter 96% de confiança de que a média amostral está a menos de 2 minutos da média verdadeira μ?

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa ter 96% de confiança de que a média amostral está a menos de 2 minutos da média verdadeira. Isso nos leva a trabalhar com o intervalo de confiança. O intervalo de confiança nos dá uma faixa onde esperamos que a média verdadeira esteja, baseado na média da amostra e no tamanho da amostra.

Passo 3

Como estamos lidando com uma distribuição normal e o desvio padrão é conhecido ( sigma = 7 minutos), podemos usar a fórmula do erro máximo (E) no intervalo de confiança para a média:
E = z^* ( sigmaraizn )
Aqui, $ z^* $ é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança de 96%, z^* é o desvio padrão, e $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.

Passo 4

Nosso objetivo é que o erro máximo $ E $ seja de 2 minutos. Então, substituímos $ E $ por 2 na fórmula:
E
Agora, precisamos encontrar o valor de $ z^* $ que corresponde a um nível de confiança de 96%.

Passo 5

Para encontrar $ z^* $ para 96% de confiança, lembramos que a distribuição normal é simétrica. Então, temos 2% na cauda esquerda e 2% na cauda direita, totalizando 4%. Isso significa que $ z^* $ corresponde a 98% cumulativo (100% - 2%).
Consultando uma tabela de valores críticos da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que:
z^*

Passo 6

Agora, voltamos à equação:
2 = 2.05 ( 7raizn )
Vamos resolver para $ n $.
Primeiro, isolamos $ \sqrt{n} $:
n
raizn
raizn = 2.05 times 72
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar $ n $:
raizn = 14.352
raizn = 7.175

Passo 7

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima para garantir que o erro máximo seja menor ou igual a 2 minutos. Portanto:
n = 52

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 52 funcionários.

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