Sabe-se, por experiência, que o tempo necessário para que funcionários de uma fábrica montem certo brinquedo segue uma distribuição normal com média
(desconhecida) e desvio padrão igual a 7 minutos. Após selecionar 49 funcionários ao acaso, encontrou-se que o tempo médio para montar o brinquedo foi de 15 minutos. Qual deve ser o tamanho da amostra para que tenhamos
de confiança de que sua média amostral esteja a menos de 2 minutos de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de estatística que envolve a distribuição normal. A gente sabe que o tempo que os funcionários levam para montar um brinquedo segue uma distribuição normal com média desconhecida (μ) e desvio padrão de 7 minutos. Selecionamos 49 funcionários ao acaso e descobrimos que o tempo médio foi de 15 minutos. A pergunta é: qual o tamanho da amostra que precisamos para ter 96% de confiança de que a média amostral está a menos de 2 minutos da média verdadeira μ?
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa ter 96% de confiança de que a média amostral está a menos de 2 minutos da média verdadeira. Isso nos leva a trabalhar com o intervalo de confiança. O intervalo de confiança nos dá uma faixa onde esperamos que a média verdadeira esteja, baseado na média da amostra e no tamanho da amostra.
Passo 3
Como estamos lidando com uma distribuição normal e o desvio padrão é conhecido (
minutos), podemos usar a fórmula do erro máximo (E) no intervalo de confiança para a média:
Aqui, $ z^* $ é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança de 96%,
é o desvio padrão, e $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Passo 4
Nosso objetivo é que o erro máximo $ E $ seja de 2 minutos. Então, substituímos $ E $ por 2 na fórmula:
Agora, precisamos encontrar o valor de $ z^* $ que corresponde a um nível de confiança de 96%.
Passo 5
Para encontrar $ z^* $ para 96% de confiança, lembramos que a distribuição normal é simétrica. Então, temos 2% na cauda esquerda e 2% na cauda direita, totalizando 4%. Isso significa que $ z^* $ corresponde a 98% cumulativo (100% - 2%).
Consultando uma tabela de valores críticos da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 6
Agora, voltamos à equação:
Vamos resolver para $ n $.
Primeiro, isolamos $ \sqrt{n} $:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar $ n $:
Passo 7
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima para garantir que o erro máximo seja menor ou igual a 2 minutos. Portanto:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de 52 funcionários.