DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Parte I
Determine se os vetores abaixo são linearmente independentes:
(1,0),(0,1)
  1. Verifique a independência linear de:
(1,2),(2,4)

Passo 1

O enunciado dá dois pares de vetores em \mathbb{R}^2 e pede para verificar se cada par é linearmente independente. Informações fornecidas:
  • Primeiro par: (1,0) e (0,1).
  • Segundo par: (1,2) e (2,4).
Perguntas:
  • Os vetores (1,0) e (0,1) são linearmente independentes?
  • Os vetores (1,2) e (2,4) são linearmente independentes?

Passo 2

Definição e ideia prática (explicação didática e sem jargão).
  • Um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\dots+\alpha_k v_k = (0,0,\dots,0)
implica que todos os coeficientes \alpha_1,\dots,\alpha_k são zero.
  • Para dois vetores em \mathbb{R}^2, isto fica simples: \alpha v_1+\beta v_2=(0,0). Se existir uma solução com (\alpha,\beta)\neq(0,0), os vetores são linearmente dependentes; se a única solução é (0,0), são independentes.
  • Intuição geométrica útil: em \mathbb{R}^2 dois vetores são dependentes exatamente quando um é múltiplo do outro (eles ficam na mesma reta que passa pela origem). Se não for múltiplo, eles formam uma base do plano (independentes).

Passo 3

Teste direto para o primeiro par (1,0)\) e \((0,1)\). - Escrevemos a combinação linear que deve dar o vetor nulo: \[\alpha(1,0)+\beta(0,1)=(0,0).
  • Fazendo componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha = 0,\\[4pt] \beta = 0. \end{cases}
  • Da primeira equação vem \alpha=0\] e da segunda vem \(\beta=0. Logo a única solução é (\alpha,\beta)=(0,0).
  • Conclusão: os vetores (1,0) e (0,1) são linearmente independentes.
Comentário adicional rápido (como lembrar na prova): (1,0) e (0,1) são justamente os vetores da base canônica de \mathbb{R}^2; por definição eles são independentes.]

Passo 4

Teste direto para o segundo par (1,2)\) e \((2,4)\). - Escrevemos a combinação linear que deve dar o vetor nulo: \[\alpha(1,2)+\beta(2,4)=(0,0).
  • Componentes geram o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] 2\alpha + 4\beta = 0. \end{cases}
  • Observe que a segunda equação é exatamente 2\] vezes a primeira (isto é, é redundante). Por isso o sistema tem infinitas soluções: a primeira equação dá \(\alpha = -2\beta, e \beta pode ser qualquer número.
  • Escolhendo \beta=1 obtemos \alpha=-2, que é uma solução não trivial. De fato,
-2(1,2)+1(2,4)=(-2, -4)+(2,4)=(0,0).
  • Como existe solução com (\alpha,\beta)\neq(0,0), os vetores são linearmente dependentes.
Interpretação geométrica: (2,4)=2\cdot(1,2), ou seja, um vetor é múltiplo do outro — estão na mesma reta que passa pela origem — portanto dependentes.]

Passo 5

Outra forma prática (critério do determinante) — dica de prova rápida.
  • Para dois vetores (a,b) e (c,d) em \mathbb{R}^2, formam-se as colunas da matriz
A=\begin{pmatrix} a & c \\[4pt] b & d \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq 0 então os vetores são linearmente independentes; se \det(A)=0 então são dependentes.
  • Aplicando ao primeiro par:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot0=1\neq0,
logo independentes (confirma o resultado).
  • Aplicando ao segundo par:
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-2\cdot2=4-4=0,
logo dependentes (confirma também).]

Passo 6

Resumo prático para a prova (dicas rápidas, motivadoras):
  • Primeiro olhar: um vetor é múltiplo do outro? Se sim, tíquete de dependência imediato.
  • Se não for óbvio, monte \alpha v_1+\beta v_2=(0,0) e resolva — se só (0,0) aparece, é independente.
  • Em \mathbb{R}^2 calcule o determinante da matriz cujas colunas são os vetores; determinante não nulo = independente.
  • Calma: fazer alguns exemplos rápidos antes da prova ajuda a pegar o jeitinho.

Resposta

Os vetores (1,0) e (0,1) são linearmente independentes.
Os vetores (1,2) e (2,4) são linearmente dependentes.

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