DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Parte I
Determine se os vetores abaixo são linearmente independentes:
- Verifique a independência linear de:
Determine se os vetores abaixo são linearmente independentes:
Passo 1
O enunciado dá dois pares de vetores em
e pede para verificar se cada par é linearmente independente. Informações fornecidas:
- Primeiro par:
e . - Segundo par:
e .
Perguntas:
- Os vetores
e são linearmente independentes? - Os vetores
e são linearmente independentes?
Passo 2
Definição e ideia prática (explicação didática e sem jargão).
- Um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
implica que todos os coeficientes
são zero.
- Para dois vetores em
, isto fica simples: . Se existir uma solução com , os vetores são linearmente dependentes; se a única solução é , são independentes. - Intuição geométrica útil: em
dois vetores são dependentes exatamente quando um é múltiplo do outro (eles ficam na mesma reta que passa pela origem). Se não for múltiplo, eles formam uma base do plano (independentes).
Passo 3
Teste direto para o primeiro par
- Fazendo componente a componente obtemos o sistema
- Da primeira equação vem
. Logo a única solução é
. - Conclusão: os vetores
e são linearmente independentes.
Comentário adicional rápido (como lembrar na prova):
e
são justamente os vetores da base canônica de
; por definição eles são independentes.]
Passo 4
Teste direto para o segundo par
- Componentes geram o sistema
- Observe que a segunda equação é exatamente
, e
pode ser qualquer número. - Escolhendo
obtemos , que é uma solução não trivial. De fato,
- Como existe solução com
, os vetores são linearmente dependentes.
Interpretação geométrica:
, ou seja, um vetor é múltiplo do outro — estão na mesma reta que passa pela origem — portanto dependentes.]
Passo 5
Outra forma prática (critério do determinante) — dica de prova rápida.
- Para dois vetores
e em , formam-se as colunas da matriz
Se
então os vetores são linearmente independentes; se
então são dependentes.
- Aplicando ao primeiro par:
logo independentes (confirma o resultado).
- Aplicando ao segundo par:
logo dependentes (confirma também).]
Passo 6
Resumo prático para a prova (dicas rápidas, motivadoras):
- Primeiro olhar: um vetor é múltiplo do outro? Se sim, tíquete de dependência imediato.
- Se não for óbvio, monte
e resolva — se só aparece, é independente. - Em
calcule o determinante da matriz cujas colunas são os vetores; determinante não nulo = independente. - Calma: fazer alguns exemplos rápidos antes da prova ajuda a pegar o jeitinho.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente independentes.
Os vetores e
são linearmente dependentes.
Os vetores