Dados os vetores
u=(2,-1), \quad v=(4,3)
calcule:
d) -2 v

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(2,-1),\qquad v=(4,3)
e pede, na alínea (d), calcular -2\,v.
Informações relevantes:
  • O vetor que vamos usar é v=(4,3) (peguei essa informação do enunciado).
  • A operação pedida é multiplicar o vetor v pelo escalar -2.

Passo 2

Definição e ideia do que é multiplicar um vetor por um escalar.
Se tivermos um vetor em \mathbb{R}^2 qualquer escrito como
v=(v_1,v_2),
e um escalar (um número real) k, a multiplicação escalar é definida componente a componente por
k\,v=(k v_1,\; k v_2).
Explicando cada símbolo:
  • v_1 e v_2 são as componentes do vetor v (no nosso caso v_1=4 e v_2=3).
  • k é o escalar que multiplica o vetor (no nosso caso k=-2).
  • O resultado é outro vetor cujas componentes são os produtos de k pelas componentes de v.
Intuição geométrica rápida (para ajudar na prova): multiplicar por um número positivo alonga (ou comprime) o vetor; multiplicar por um número negativo além de alongar/comprimir também inverte a direção do vetor.
Exemplo simples fora do exercício: se w=(1,2) e k=3 então 3w=(3\cdot1,3\cdot2)=(3,6).

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, com k=-2 e v=(4,3).
Escrevendo a operação:
-2\,v = -2\,(4,3).
Agora fazemos a multiplicação componente a componente:
-2\,(4,3)=(-2\cdot 4,\; -2\cdot 3).
Calculemos cada produto (mostrando os passos aritméticos):
-2\cdot 4 = -(2\cdot 4)= -8,
-2\cdot 3 = -(2\cdot 3)= -6.

Passo 4

Juntando os resultados das componentes, obtemos
-2\,v = (-8,-6).
Interpretação rápida e encorajamento: geometricamente, o vetor foi esticado por fator 2 e invertido de direção (por causa do sinal negativo). Você já fez o mais difícil — aplicar a definição — e está indo bem!

Resposta

(-2)v = (-8,-6)

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