DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Parte I
Verifique se:
(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)
são LI ou LD.
  1. Determine os valores de k para os quais:
(1,2, k),(2,4,6),(1,1,0)
são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado dá duas tarefas distintas:
  • Verificar se os vetores \,(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,2)\, são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
  • Determinar os valores de k para os quais os vetores \,(1,2,k),\,(2,4,6),\,(1,1,0)\, são linearmente dependentes.
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada conjunto tem três vetores em \mathbb{R}^3.
  • Para cada conjunto precisamos decidir LI ou LD (no segundo caso, achar k que torna LD).

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
  • Definição: vetores v_1,v_2,\dots,v_n são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n=0
é \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0. Caso exista uma solução com algum coeficiente não nulo, os vetores são linearmente dependentes.
  • Método prático em \mathbb{R}^3: se temos três vetores em \mathbb{R}^3, podemos montá‑los como linhas (ou colunas) de uma matriz 3\times3. Essa matriz é invertível (não singular) se e só se o determinante for diferente de zero. Se o determinante for diferente de zero, a única combinação linear que dá zero é a trivial, então os vetores são LI. Se o determinante for zero, os vetores são LD.
  • Por isso aqui vamos calcular determinantes 3×3. A fórmula do determinante de
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
é
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Cada termo aqui é um menor cofator — não se assuste, é só multiplicar e somar com os sinais indicados.]

Passo 3

Aplicando isso ao primeiro conjunto \,(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,2).
Formo a matriz com esses vetores como linhas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante usando a fórmula:
\det(A)=1\big(1\cdot2-1\cdot1\big)-0\big(0\cdot2-1\cdot1\big)+1\big(0\cdot1-1\cdot1\big).
Agora faço as contas passo a passo:
  • Primeiro termo: 1\cdot(1\cdot2-1\cdot1)=1\cdot(2-1)=1.
  • Segundo termo: -0\cdot(\cdots)=0.
  • Terceiro termo: +1\cdot(0\cdot1-1\cdot1)=1\cdot(0-1)=-1.
Somando:
\det(A)=1+0-1=0.
Como \det(A)=0, a matriz é singular e os vetores são linearmente dependentes.]

Passo 4

Encontrar explicitamente a relação de dependência (útil para entender o que aconteceu).
Procuramos coeficientes \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, tais que
\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,1,2)=(0,0,0).
Uma maneira rápida é tentar combinações simples. Observe que
(1,0,1)+(0,1,1)-(1,1,2)=(1+0-1,\;0+1-1,\;1+1-2)=(0,0,0).
Portanto uma relação não trivial é
1\cdot(1,0,1)+1\cdot(0,1,1)-1\cdot(1,1,2)=0,
ou seja, \,(1,0,1)+(0,1,1)=(1,1,2). Isso confirma a dependência e mostra exatamente como um vetor é combinação linear dos outros dois.

Passo 5

Agora o segundo conjunto: \,(1,2,k),\,(2,4,6),\,(1,1,0)\,. Montamos a matriz com essas linhas:
B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\[4pt] 2 & 4 & 6\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos \det(B) em função de k usando a fórmula:
\det(B)=1\big(4\cdot0-6\cdot1\big)-2\big(2\cdot0-6\cdot1\big)+k\big(2\cdot1-4\cdot1\big).
Faço as contas passo a passo:
  • Primeiro termo: 1\cdot(4\cdot0-6\cdot1)=1\cdot(0-6)=-6.
  • Segundo termo: -2\cdot(2\cdot0-6\cdot1)=-2\cdot(0-6)=-2\cdot(-6)=+12.
  • Terceiro termo: k\cdot(2\cdot1-4\cdot1)=k\cdot(2-4)=k\cdot(-2)=-2k.
Somando:
\det(B)=-6+12-2k=6-2k.]

Passo 6

Condição de dependência: vetores são LD se e somente se \det(B)=0. Então resolvo
6-2k=0.
Isolando k:
-2k=-6\quad\Rightarrow\quad k=3.
Interpretação concreta: para k=3 o primeiro vetor fica (1,2,3) e o segundo é (2,4,6)=2\cdot(1,2,3). Como dois vetores são proporcionais, qualquer conjunto que os contenha é automaticamente linearmente dependente (não precisa nem do terceiro vetor). Para k\neq3 tem-se \det(B)\neq0 e, portanto, os três vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores \,(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)\, são linearmente dependentes.
k=3

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