Verificar se os vetores \,(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,2)\, são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
Determinar os valores de k para os quais os vetores \,(1,2,k),\,(2,4,6),\,(1,1,0)\, são linearmente dependentes.
Informações relevantes fornecidas:
Cada conjunto tem três vetores em \mathbb{R}^3.
Para cada conjunto precisamos decidir LI ou LD (no segundo caso, achar k que torna LD).
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
Definição: vetores v_1,v_2,\dots,v_n são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n=0
é \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0. Caso exista uma solução com algum coeficiente não nulo, os vetores são linearmente dependentes.
Método prático em \mathbb{R}^3: se temos três vetores em \mathbb{R}^3, podemos montá‑los como linhas (ou colunas) de uma matriz 3\times3. Essa matriz é invertível (não singular) se e só se o determinante for diferente de zero. Se o determinante for diferente de zero, a única combinação linear que dá zero é a trivial, então os vetores são LI. Se o determinante for zero, os vetores são LD.
Por isso aqui vamos calcular determinantes 3×3. A fórmula do determinante de
Condição de dependência: vetores são LD se e somente se \det(B)=0. Então resolvo
6-2k=0.
Isolando k:
-2k=-6\quad\Rightarrow\quad k=3.
Interpretação concreta: para k=3 o primeiro vetor fica (1,2,3) e o segundo é (2,4,6)=2\cdot(1,2,3). Como dois vetores são proporcionais, qualquer conjunto que os contenha é automaticamente linearmente dependente (não precisa nem do terceiro vetor). Para k\neq3 tem-se \det(B)\neq0 e, portanto, os três vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores \,(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)\, são linearmente dependentes.