Exercício 2.13 Calcule os seguintes limites: \lim _{(x, y, z) \rightarrow(3,4,2)} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-5};
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-5}
e pede o valor do limite
\lim_{(x,y,z)\to(3,4,2)} f(x,y,z).
Informações relevantes dadas:
O ponto de aproximação é (3,4,2).
A expressão dentro da raiz é x^{2}+y^{2}+z^{2}-5.
A função envolve uma raiz quadrada aplicada a essa expressão.
Passo 2
Calcular o valor da expressão dentro da raiz no ponto (3,4,2). Fazer as contas passo a passo:
3^{2}=9,\qquad 4^{2}=16,\qquad 2^{2}=4.
Somando:
9+16+4=29.
Subtraindo 5:
29-5=24.
Portanto, a expressão dentro da raiz no ponto vale 24, que é um número positivo.
Passo 3
Explicar por que podemos simplesmente substituir o ponto na expressão para calcular o limite.
Conceito útil (em palavras): se uma função g é contínua num ponto, então \lim_{u\to u_0} g(u)=g(u_0). No nosso caso temos uma composição: primeiro a função polinomial
P(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-5
e depois a função raiz quadrada h(t)=\sqrt{t}. Polinômios são funções contínuas em todo lugar; assim, \lim_{(x,y,z)\to(3,4,2)} P(x,y,z)=P(3,4,2)=24. A função h(t)=\sqrt{t} é contínua para t>0. Como P(3,4,2)=24>0, existe uma vizinhança do ponto onde P(x,y,z) também é positiva, então a composição h\circ P é contínua nesse ponto. Logo vale