Exercício 2.13 Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(3,4,2)} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-5};

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-5}
e pede o valor do limite
\lim_{(x,y,z)\to(3,4,2)} f(x,y,z).
Informações relevantes dadas:
  • O ponto de aproximação é (3,4,2).
  • A expressão dentro da raiz é x^{2}+y^{2}+z^{2}-5.
  • A função envolve uma raiz quadrada aplicada a essa expressão.

Passo 2

Calcular o valor da expressão dentro da raiz no ponto (3,4,2). Fazer as contas passo a passo:
3^{2}=9,\qquad 4^{2}=16,\qquad 2^{2}=4.
Somando:
9+16+4=29.
Subtraindo 5:
29-5=24.
Portanto, a expressão dentro da raiz no ponto vale 24, que é um número positivo.

Passo 3

Explicar por que podemos simplesmente substituir o ponto na expressão para calcular o limite.
Conceito útil (em palavras): se uma função g é contínua num ponto, então \lim_{u\to u_0} g(u)=g(u_0). No nosso caso temos uma composição: primeiro a função polinomial
P(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-5
e depois a função raiz quadrada h(t)=\sqrt{t}. Polinômios são funções contínuas em todo lugar; assim, \lim_{(x,y,z)\to(3,4,2)} P(x,y,z)=P(3,4,2)=24. A função h(t)=\sqrt{t} é contínua para t>0. Como P(3,4,2)=24>0, existe uma vizinhança do ponto onde P(x,y,z) também é positiva, então a composição h\circ P é contínua nesse ponto. Logo vale
\lim_{(x,y,z)\to(3,4,2)} h(P(x,y,z)) = h\bigl(\lim_{(x,y,z)\to(3,4,2)} P(x,y,z)\bigr) = h(24).

Passo 4

Se quiser ver de forma mais técnica por que \sqrt{u} preserva limites quando o limite é positivo, use a identidade
\bigl|\sqrt{u}-\sqrt{L}\bigr|=\frac{|u-L|}{\sqrt{u}+\sqrt{L}}.
Se L>0, ao garantir u suficientemente próximo de L tem-se \sqrt{u}+\sqrt{L}\ge \sqrt{L}, então
\bigl|\sqrt{u}-\sqrt{L}\bigr|\le \frac{|u-L|}{\sqrt{L}}.
Isso mostra que se u\to L então \sqrt{u}\to\sqrt{L}. Aplicando isso à nossa composição confirma o passo anterior.

Passo 5

Aplicando o resultado, o limite procurado é
\sqrt{24}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}.

Resposta

2\sqrt{6}

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