O enunciado tem cinco partes (vou listar exatamente o que pede e os dados que nos foram dados):
Parte (1): Verificar se o conjunto W=\{(x,y,z): x+y+z=0\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Parte (2): Determinar uma base para o subespaço do item anterior (ou seja, para esse W).
Parte (3): Determinar a dimensão desse subespaço.
Parte (4): Verificar se o conjunto W=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Parte (5): Determinar o subespaço gerado pelos vetores (1,0,1) e (0,1,1).
Informações relevantes dadas:
As duas descrições de W são subconjuntos de \mathbb{R}^{3}, definidos por equações entre as coordenadas.
Na parte (5) são fornecidos dois vetores explícitos em \mathbb{R}^{3}.
Nada mais é pedido além dessas verificações e determinações.
Passo 2
Vamos recordar (com calma e sem pular etapas) o que significa ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes valem:
O vetor zero (0,0,0) pertence a S.
S é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in S, tem-se u+v\in S.
S é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer u\in S e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, tem-se c u\in S.
Vou usar essas três condições para verificar se um conjunto é subespaço. Sempre que eu fizer operações com coordenadas, vou mostrar cada passo.
Passo 3
Aplicando a definição ao conjunto W=\{(x,y,z): x+y+z=0\}.
Verificação 1 (vetor zero):
Tomo (0,0,0). Calculo 0+0+0 = 0. Como 0=0, segue que (0,0,0)\in W.
Portanto a primeira condição é satisfeita.
Verificação 2 (fechamento por adição):
Tome dois vetores quaisquer em W: u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) tais que x_1+y_1+z_1=0 e x_2+y_2+z_2=0.
Calculo u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Somo as coordenadas: (x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2) = (x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2) = 0+0 = 0.
Logo u+v satisfaz a equação do conjunto, então u+v\in W.
Portanto a segunda condição é satisfeita.
Verificação 3 (fechamento por escalar):
Tome u=(x,y,z)\in W com x+y+z=0 e um escalar c\in\mathbb{R}.
Calculo c u = (c x,\; c y,\; c z).
Somando as coordenadas: c x + c y + c z = c(x+y+z) = c\cdot 0 = 0.
Portanto c u\in W.
Assim a terceira condição é satisfeita.
Conclusão do passo: todas as três propriedades são satisfeitas, logo W=\{(x,y,z): x+y+z=0\} é de fato um subespaço de \mathbb{R}^3.
Passo 4
Agora vamos encontrar uma base para [W={(x,y,z): x+y+z=0}). A estratégia padrão é: descrever os vetores de W em função de parâmetros livres e obter vetores geradores independentes.
Começo pela equação que define W: x+y+z=0.
Isolo uma variável (por exemplo z): z = -x - y.
Então um vetor genérico de W é
(x,y,z) = (x,y,-x-y).
Agora escrevo isso como combinação linear de vetores que multiplicam x e y:
(x,y,-x-y) = x\,(1,0,-1) + y\,(0,1,-1).
Aqui x e y são parâmetros livres que variam em \mathbb{R}. Isso mostra que todo vetor de W é combinação linear de (1,0,-1) e (0,1,-1). Assim esses dois vetores geram W.
Ainda preciso checar se esses dois vetores são linearmente independentes (para serem uma base). Para verificar independência:
Considere a(1,0,-1)+b(0,1,-1)=(0,0,0).
Isso dá o sistema em coordenadas:
\begin{cases} a + 0 = 0 \\\\ 0 + b = 0 \\\\ - a - b = 0 \end{cases}
ou seja a=0\], \(b=0. Não há solução não-trivial, então são linearmente independentes.
Portanto \{(1,0,-1),(0,1,-1)\} é uma base de W.
Observação: outras bases possíveis existem (por exemplo \{(1,-1,0),(1,0,-1)\}), mas a que usamos é simples e direta.
Passo 5
Dimensão de W.
Já mostramos que W é gerado por dois vetores independentes, logo \dim W = 2.
Alternativamente, da descrição z=-x-y vemos que há dois parâmetros livres (x,y), o que também indica dimensão 2.
Passo 6
Analisando o conjunto W=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}.
Primeira verificação óbvia: o vetor zero (0,0,0) não satisfaz 0^{2}+0^{2}+0^{2}=1. Logo (0,0,0)\notin W.
Como a primeira condição para ser subespaço (conter o zero) falha, já podemos concluir que esse W não é subespaço. Não é preciso verificar fechamento; mas para intuição: mesmo se pegarmos um vetor u=(1,0,0)\in W, multiplicá-lo por 2 dá (2,0,0) cuja soma de quadrados é 4\neq1, mostrando falha de fechamento por escalares.
Conclusão: W=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\} NÃO é subespaço de \mathbb{R}^3.
Passo 7
Determinar o subespaço gerado pelos vetores v_1=(1,0,1) e v_2=(0,1,1).
O subespaço gerado (ou span) é
\operatorname{span}\{v_1,v_2\} = \{ a v_1 + b v_2 : a,b\in\mathbb{R}\}.
Calculo a combinação linear geral:
a(1,0,1)+b(0,1,1) = (a,\; b,\; a+b).
Assim todo vetor do subespaço tem forma (a,b,a+b) com a,b\in\mathbb{R}. Se chamarmos as coordenadas de (x,y,z), temos a relação
z = x + y.
Portanto o subespaço gerado é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z = x+y\}.
Podemos também escrever isso como o plano com equação linear x + y - z = 0.
Finalmente, verifico que v_1 e v_2 são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), então eles formam uma base do subespaço e a dimensão é 2.
Resposta
Sim. W=\{(x,y,z):x+y+z=0\} é subespaço de \mathbb{R}^3.
Uma base é \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}. \dim W = 2.
Não. W=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\} não é subespaço. \operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z=x+y\}=\{a(1,0,1)+b(0,1,1):a,b\in\mathbb{R}\}.