Dependência linear de três funções. Três funções y1(t), y2(t) e y3(t) são consideradas linearmente dependentes de um intervalo I se, em I, pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se y1(t) =c1 y2(t)+c2 y3(t)]. De modo equivalente (compare com o Problema 33), y1, y2 e y3 são linearmente dependentes de I se houver constantes C1, C2 e C3, não todas zero, tais que
C1 y1(t)+C2 y2(t)+C3 y3(t)=0 para todo t em I
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em I.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em (-infty, infty) :
y1(t)=-3, y2(t)=5 sen^2 t, y3(t)=cos ^2 t.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos as funções
y1(t)=-3, y2(t)=5sin^2t, y3(t)=cos^2t
definidas em (-infty,infty), e queremos decidir se elas são linearmente dependentes ou independentes.
Conteúdo utilizado: definição de dependência linear de funções, ou seja, existem constantes C1,C2,C3, não todas zero, tais que
C1y1(t)+C2y2(t)+C3y3(t)=0
para todo t.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e simplificamos:
C1(-3)+C2(5sin^2t)+C3(cos^2t)=0 para todo t

Passo 3

Usamos a identidade fundamental
sin^2t+cos^2t=1,
ou seja, cos^2t=1-sin^2t. Substituindo na combinação:
-3C1+5C2sin^2t +C3(1-sin^2t)=0

Passo 4

Agrupando em termos de sin^2t e termos constantes, obtemos
(5C2-C3),sin^2t+(-3C1+C3)=0 para todo t
Para isso ser verdade em qualquer t, ambos coeficientes devem ser zero:
5C2-C3=0, -3C1+C3=0
Desses, podemos escolher C2=3, o que dá C3=5cdot3=15 e C1=C3/3=5, solução não trivial.

Resposta

As funções são linearmente dependentes em (-infty,infty).

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