Dependência linear de três funções. Três funções
,
e
são consideradas linearmente dependentes de um intervalo
se, em
, pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se
. De modo equivalente (compare com o Problema 33),
e
são linearmente dependentes de
se houver constantes
e
, não todas zero, tais que
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em
.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em
:
.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em
Passo 1
Resumo do enunciado: temos as funções
definidas em
, e queremos decidir se elas são linearmente dependentes ou independentes.
Conteúdo utilizado: definição de dependência linear de funções, ou seja, existem constantes , não todas zero, tais que
Conteúdo utilizado: definição de dependência linear de funções, ou seja, existem constantes
para todo
.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear genérica e simplificamos:
Passo 3
Usamos a identidade fundamental
,
ou seja, . Substituindo na combinação:
ou seja,
Passo 4
Agrupando em termos de
e termos constantes, obtemos
Para isso ser verdade em qualquer
, ambos coeficientes devem ser zero:
Desses, podemos escolher
, o que dá
e
, solução não trivial.
Resposta
As funções são linearmente dependentes em
.