Dependência linear de três funções. Três funções y1(t), y2(t) e y3(t) são consideradas linearmente dependentes de um intervalo I se, em I, pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se y1(t) =c1 y2(t)+c2 y3(t)]. De modo equivalente (compare com o Problema 33), y1, y2 e y3 são linearmente dependentes de I se houver constantes C1, C2 e C3, não todas zero, tais que
C1 y1(t)+C2 y2(t)+C3 y3(t)=0 para todo t em I
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em I.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em (-infty, infty) :
y1(t)=e^t, y2(t)=t e^t, y3(t)=t^2 e^t.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
y1(t)=e^t, y2(t)=t,e^t, y3(t)=t^2e^t
são linearmente dependentes ou independentes em (-infty,infty). O conteúdo principal aqui é o critério do wronskiano para três funções: se o wronskiano for não nulo em algum ponto do intervalo, então as funções são linearmente independentes ali.

Passo 2

Definimos o wronskiano de três funções y1,y2,y3 como
W(t)= y1(t) & y2(t) & y3(t) y1'(t)& y2'(t)& y3'(t) y1''(t)&y2''(t)&y3''(t)
Se existir t0 em (-infty,infty) tal que W(t0)neq0, concluímos que as três funções são linearmente independentes em todo o intervalo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de cada função:
y1(t)&=e^t,& y1'(t)&=e^t,& y1''(t)&=e^t, y2(t)&=t,e^t,& y2'(t)&=(1+t)e^t,& y2''(t)&=(2+t)e^t, y3(t)&=t^2e^t,& y3'(t)&=(2t+t^2)e^t,& y3''(t)&=(2+4t+t^2)e^t

Passo 4

Substituindo no wronskiano e fatorando e^t de cada linha, temos
W(t) =e^t,e^t,e^t 1 & t & t^2 1 & t+1 & t^2+2t 1 & t+2 & t^2+4t+2 =e^3t,De<a,
onde
De<a = 1 & t & t^2 1 & t+1 & t^2+2t 1 & t+2 & t^2+4t+2
Subtraindo a primeira linha das outras duas simplifica o cálculo e dá
De<a = 1 & t & t^2 0 & 1 & 2t 0 & 2 & 4t+2 =1cdotl((1)(4t+2)-(2)(2t)r)=4t+2-4t=2
Logo
W(t)=2,e^3tneq0para todo tin(-infty,infty)

Passo 5

Como o wronskiano é nunca zero no intervalo (-infty,infty), concluímos que não existe combinação linear não trivial que zere todas as três funções. Portanto, y1,y2,y3 são linearmente independentes em (-infty,infty).

Resposta

As funções são linearmente independentes em (-infty,infty).

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