Dependência linear de três funções. Três funções , e são consideradas linearmente dependentes de um intervalo se, em , pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se . De modo equivalente (compare com o Problema 33), e são linearmente dependentes de se houver constantes e , não todas zero, tais que
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em .
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em : .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
são linearmente dependentes ou independentes em . O conteúdo principal aqui é o critério do wronskiano para três funções: se o wronskiano for não nulo em algum ponto do intervalo, então as funções são linearmente independentes ali.
Passo 2
Definimos o wronskiano de três funções como
Se existir t0 em (-infty,infty) tal que W(t0)neq0, concluímos que as três funções são linearmente independentes em todo o intervalo.
Como o wronskiano é nunca zero no intervalo (-infty,infty), concluímos que não existe combinação linear não trivial que zere todas as três funções. Portanto, y1,y2,y3 são linearmente independentes em (-infty,infty).
Resposta
As funções são linearmente independentes em (-infty,infty).