- A base de um aquário com volume
é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material. (J. Stewart, p. 857)
- Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano
. (J. Stewart, p. 857)
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que cada problema pede e quais dados temos.
Problema 76:
- Dados: um aquário com volume fixo
. A base é feita de ardósia e as quatro faces laterais são de vidro. - Informação de preço: o preço por unidade de área da ardósia é cinco vezes o preço por unidade de área do vidro.
- Pedido: determinar as dimensões do aquário que minimizam o custo do material (ou seja, minimizar custo total, sabendo que o volume é
).
Problema 77:
- Dados: uma caixa retangular no primeiro octante (ou seja,
) com três faces nos planos coordenados e o vértice oposto no plano . - Pedido: determinar o volume da maior caixa possível sob essas condições (ou seja, maximizar
sujeito à restrição dada pelo plano).
A partir do próximo passo começamos a resolver o Problema 76 passo a passo, depois seguimos para o Problema 77.
Passo 2
(Problema 76) Definindo variáveis e escrevendo a função custo.
- Seja
o comprimento, a largura e a altura do aquário. Todas as três são positivas. - A área da base (ardósia) é
. - As áreas das quatro faces laterais (vidro) são
. - Sejam
e os preços por unidade de área. Pela hipótese, . - O custo total (proporcional a
) é:
Substituindo
e fatorando
(constante positiva que não altera a minimização), podemos minimizar a função custo adimensional
Passo 3
(Problema 76) Restrição de volume e eliminação de variável.
- O volume fixo é
. Como é dado, podemos expressar em função de e :
- Substituindo em
obtemos uma função de duas variáveis:
- Simplificando os termos:
Agora queremos minimizar
para
.
Passo 4
(Problema 76) Encontrando pontos críticos: derivadas parciais e sistema.
- Calcule as derivadas parciais:
- Zerar as derivadas dá o sistema:
- Observação útil: as equações são simétricas em
e ; é razoável procurar uma solução com (isso será confirmado solução ótima devido à simetria do custo com relação a e ).
Passo 5
(Problema 76) Resolver assumindo
.
- Se
, a primeira equação fica:
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Logo
- A altura
vem da restrição de volume:
- Podemos também escrever
como
mas a forma
é clara e direta.
Passo 6
(Problema 76) Verificar que é mínimo (teste de segunda derivada bivariada).
- Calcule as segundas derivadas da função
:
- Avaliando no ponto
, temos (usando )
- Determinante da matriz Hessiana:
e
. Portanto o ponto crítico é um mínimo local. Como o custo tende a infinito quando uma dimensão tende a zero ou infinito (sob a restrição de volume), este mínimo local é o mínimo global relevante.
Passo 7
(Problema 76) Interpretação final e conclusão.
- Concluímos que o custo é minimizado quando a base é quadrada (
) com
- Intuição rápida: base quadrada surge por simetria e porque a ardósia (base) é mais cara; então convém distribuir a área de base de forma eficiente.
Passo 8
(Problema 77) Definindo variáveis e a função objetivo.
- Seja
o vértice da caixa no primeiro octante (o vértice oposto à origem). Então as arestas da caixa têm comprimentos . - O volume é
. - Restrição: o vértice está no plano
. - Como estamos no primeiro octante,
. Queremos maximizar sujeito à restrição.
Passo 9
(Problema 77) Eliminar uma variável usando a restrição.
- Da restrição:
- Substituindo na fórmula do volume:
- Como o fator
é constante positiva, maximizar é equivalente a maximizar a função
para
e com
(para que
).
Passo 10
(Problema 77) Encontrando pontos críticos: derivadas parciais.
- Expresso
expandida:
- Derivadas parciais:
- Zerar as derivadas dá o sistema:
- Excluindo as soluções triviais
ou (essas dão volume zero), resolvemos o sistema
Passo 11
(Problema 77) Resolver o sistema interno.
- Das equações:
- Subtraindo as duas equações:
- Então
. - E
pela restrição original:
Passo 12
(Problema 77) Verificação de máximo (teste da segunda derivada / razão).
- Podemos verificar que nas fronteiras (quando
ou ou ) o volume é . A função é contínua e positiva no interior viável e zero na fronteira, logo um ponto crítico interior com será um máximo global. - Fazendo o teste Hessiano em
:
- Determinante do Hessiano:
e
, então temos um máximo local. Com o argumento da fronteira, é o máximo global no domínio viável.
Passo 13
(Problema 77) Calcular o volume máximo.
- Com
, o volume máximo é