Por derivação implícita determine d yd x :
4 x^2+e^x y=6 y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. A gente tem a equação 4x^2 + e^xy = 6y e precisamos encontrar dydx usando derivação implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo em relação a x, lembrando que y é uma função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação com respeito a x. Isso vai nos ajudar a encontrar uma expressão para dydx.

Passo 3

Vamos começar derivando o primeiro termo 4x^2. A derivada de 4x^2 em relação a x é:
ddx(4x^2) = 8x
Isso é direto, usando a regra básica de potências.

Passo 4

Agora, vamos para o termo e^xy. Aqui usamos a regra da cadeia porque temos uma função exponencial com um exponente que é o produto de x e y. A derivada de e^u onde u = xy é:
ddx(e^xy) = e^xy cdot ddx(xy)
Agora, precisamos derivar xy.

Passo 5

Para derivar xy, usamos a regra do produto, já que x e y são ambos funções de x:
ddx(xy) = y + xdydx
Então, substituindo de volta na derivada de e^xy:
ddx(e^xy) = e^xy(y + xdydx)

Passo 6

Finalmente, vamos derivar o lado direito da equação, 6y. Como y é uma função de x, temos:
ddx(6y) = 6dydx

Passo 7

Agora, colocando tudo junto, a derivada da equação original fica:
8x + e^xy(y + xdydx) = 6dydx

Passo 8

Nosso objetivo é isolar dydx. Vamos distribuir o e^xy no termo da esquerda:
8x + e^xyy + e^xyxdydx = 6dydx

Passo 9

Agora, vamos reunir os termos que contêm dydx de um lado e os demais do outro:
e^xyxdydx - 6dydx = -8x - e^xyy

Passo 10

Fatorando dydx do lado esquerdo:
dydx(e^xyx - 6) = -8x - e^xyy
Agora, isolamos dydx:
dydx = -8x - e^xyye^xyx - 6
Podemos também escrever de forma um pouco mais organizada:
dydx = 8x + e^xyy6 - e^xyx

Resposta

A derivada dydx é:
dydx = 8x + e^xyy6 - e^xyx

Exercícios relacionados