Por derivação implícita determine
:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. A gente tem a equação
e precisamos encontrar
usando derivação implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação com respeito a
. Isso vai nos ajudar a encontrar uma expressão para
.
Passo 3
Vamos começar derivando o primeiro termo
. A derivada de
em relação a
é:
Isso é direto, usando a regra básica de potências.
Passo 4
Agora, vamos para o termo
. Aqui usamos a regra da cadeia porque temos uma função exponencial com um exponente que é o produto de
e
. A derivada de
onde
é:
Agora, precisamos derivar
.
Passo 5
Para derivar
, usamos a regra do produto, já que
e
são ambos funções de
:
Então, substituindo de volta na derivada de
:
Passo 6
Finalmente, vamos derivar o lado direito da equação,
. Como
é uma função de
, temos:
Passo 7
Agora, colocando tudo junto, a derivada da equação original fica:
Passo 8
Nosso objetivo é isolar
. Vamos distribuir o
no termo da esquerda:
Passo 9
Agora, vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Passo 10
Fatorando
do lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Podemos também escrever de forma um pouco mais organizada:
Resposta
A derivada
é: