Seja
. Mostre que
. Use esse resultado para determinar
que tenha a transformada de Laplace igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que $ f(t) = -\frac{1}{t} \mathcal{L}{-1}{F{\prime}(s)} $, onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $. Depois, precisamos usar esse resultado para encontrar $ f(t) $ quando $ F(s) = \ln\left(1 + \frac{a{2}}{s{2}}\right) $. Então, vamos trabalhar com a Transformada de Laplace e suas propriedades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace $ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) $ é uma ferramenta que transforma funções do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. A propriedade que vamos usar aqui está relacionada à derivada da transformada em relação a $ s $.
Sabemos que:
Isso significa que multiplicar $ f(t) $ por $ t $ no domínio do tempo corresponde a transformar $ f(t) $ para $ -F^{\prime}(s) $ no domínio de $ s $.
Passo 3
Agora, queremos expressar $ f(t) $ em termos de $ F^{\prime}(s) $. Partindo da propriedade acima:
Para isolar $ f(t) $, vamos dividir ambos os lados por $ t $:
Assim, mostramos que $ f(t) = -\frac{1}{t} \mathcal{L}{-1}{F{\prime}(s)} $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar esse resultado ao caso específico onde $ F(s) = \ln\left(1 + \frac{a{2}}{s{2}}\right) $. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ F(s) $ em relação a $ s $:
Passo 5
Simplificando $ F^{\prime}(s) $:
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace de $ F^{\prime}(s) $:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Finalmente, usando a fórmula que mostramos no Passo 3:
Resposta
A função $ f(t) $ é dada por: