Seja F(s)=Lf(t). Mostre que f(t)=-1t L^-1F^prime(s). Use esse resultado para determinar f(t) que tenha a transformada de Laplace igual a:
ln (1+a^2s^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que $ f(t) = -\frac{1}{t} \mathcal{L}{-1}{F{\prime}(s)} $, onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $. Depois, precisamos usar esse resultado para encontrar $ f(t) $ quando $ F(s) = \ln\left(1 + \frac{a{2}}{s{2}}\right) $. Então, vamos trabalhar com a Transformada de Laplace e suas propriedades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace $ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) $ é uma ferramenta que transforma funções do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. A propriedade que vamos usar aqui está relacionada à derivada da transformada em relação a $ s $.
Sabemos que:
Lf(t) = F(s)
Isso significa que multiplicar $ f(t) $ por $ t $ no domínio do tempo corresponde a transformar $ f(t) $ para $ -F^{\prime}(s) $ no domínio de $ s $.

Passo 3

Agora, queremos expressar $ f(t) $ em termos de $ F^{\prime}(s) $. Partindo da propriedade acima:
f(t)
Para isolar $ f(t) $, vamos dividir ambos os lados por $ t $:
F^prime(s)
Assim, mostramos que $ f(t) = -\frac{1}{t} \mathcal{L}{-1}{F{\prime}(s)} $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar esse resultado ao caso específico onde $ F(s) = \ln\left(1 + \frac{a{2}}{s{2}}\right) $. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ F(s) $ em relação a $ s $:
F(s) = ln(1 + a^2s^2)

Passo 5

Simplificando $ F^{\prime}(s) $:
F^prime(s)
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace de $ F^{\prime}(s) $:
F^prime(s) = -2a^2s(s^2 + a^2)
Sabemos que:
F^prime(s)
Portanto:
L^-1F^prime(s) = L^-1 -2a^2s(s^2 + a^2) = -2a^2 L^-1 1s(s^2 + a^2)

Passo 6

Finalmente, usando a fórmula que mostramos no Passo 3:
f(t) = -1t L^-1F^prime(s) = -1t cdot (-2)(1 - cos(at)) = 2(1 - cos(at))t

Resposta

A função $ f(t) $ é dada por:
f(t)

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