Quando um fabricante de móveis produz x cadeiras por semana, o custo total e a receita total semanais são, respectivamente, dados por C=3000+40 x e R=150 x-14 x^2. Se a produção semanal atual é de 200 cadeiras e ela está aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por semana, ache a taxa de variação:
do custo total semanal;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre custos e receitas de uma fábrica que produz cadeiras. Vamos precisar usar conceitos de derivadas, que ajudam a entender como uma quantidade muda em relação a outra. No caso, queremos descobrir como o custo total semanal está mudando quando a produção de cadeiras está aumentando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Custo Total ©: $ C = 3000 + 40x $
  • Produção de Cadeiras (x): Atualmente, $ x = 200 $ cadeiras por semana.
  • Taxa de Crescimento da Produção ($ \frac{dx}{dt} $): $ \frac{dx}{dt} = 10 $ cadeiras por semana.
Queremos encontrar a taxa de variação do custo total em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dC}{dt} $.

Passo 3

Para encontrar $ \frac{dC}{dt} $, precisamos usar a regra da cadeia em cálculo. Isso significa que vamos derivar o custo total em relação a $ x $ e depois multiplicar pela taxa de variação de $ x $ em relação ao tempo.
Matematicamente, isso é:
dCdt

Passo 4

Vamos primeiro encontrar a derivada de $ C $ em relação a $ x $:
C
Derivando em relação a $ x $:
x
Isso significa que para cada cadeira produzida a mais, o custo total aumenta em R$40.

Passo 5

Agora, sabemos que $ \frac{dx}{dt} = 10 $ cadeiras por semana. Isso indica que a produção está aumentando em 10 cadeiras a cada semana.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
dCdt = dCdx times dxdt
Substituindo os valores que encontramos:
dCdt = 40 times 10
dCdt = 400

Resposta

A taxa de variação do custo total semanal é de R$400 por semana.

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