O raio de uma esfera está variando com o tempo a uma taxa de 5 m / s. Calcule a taxa de variação do volume da esfera no instante em que o raio é igual a 2 m .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera cujo raio está mudando com o tempo, e queremos descobrir como o volume dela está variando nesse instante específico. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para relacionar a taxa de variação do raio com a taxa de variação do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera. O volume $ V $ de uma esfera com raio $ r $ é dado por:
V

Passo 3

Agora, queremos saber como o volume muda com o tempo, ou seja, queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, que é $ \frac{dV}{dt} $. Para isso, vamos derivar a função do volume em relação ao tempo.

Passo 4

Usamos a regra da cadeia para derivar $ V $ em relação ao tempo:
V
Aqui, $ \frac{dV}{dr} $ é a derivada do volume em relação ao raio, e $ \frac{dr}{dt} $ é a taxa de variação do raio em relação ao tempo.

Passo 5

Vamos calcular $ \frac{dV}{dr} $:
dVdr
Isso significa que a taxa de variação do volume em relação ao raio é $ 4 \pi r^2 $.

Passo 6

Sabemos que $ \frac{dr}{dt} = 5 , m/s $ (a taxa com que o raio está variando). Agora, substituímos os valores na equação da taxa de variação do volume:
drdt = 5 , m/s

Passo 7

Agora, vamos substituir $ r = 2 , m $ na equação:
r = 2 , m

Resposta

A taxa de variação do volume da esfera quando o raio é igual a 2 metros é $ 80\pi , m^3/s $.

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