(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
y=\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(x^{2}\right)\right) \quad 2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função composta
y=\operatorname{arctg}\!\big(\operatorname{tg}(x^{2})\big).
Informações relevantes dadas:
  • A função é uma composição de três funções: x\mapsto x^{2}, depois u\mapsto \tan(u) e por fim w\mapsto \arctan(w).
  • É preciso atentar ao domínio: \tan(u) não está definida quando \cos u = 0, ou seja quando u = \tfrac{\pi}{2}+k\pi ( k\in\mathbb{Z}). Portanto a composição só faz sentido quando \cos(x^{2})\neq0.
  • O objetivo é calcular a derivada usando regras de diferenciação (cadeia, derivadas de \tan e de \arctan) e simplificar.

Passo 2

Relembrando as regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  1. Regra da cadeia: se y=f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa que derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
  1. Derivada da função arco-tangente: para uma variável w,
\frac{d}{dw}\big(\arctan(w)\big)=\frac{1}{1+w^{2}}.
Aqui w é o argumento da \arctan; a fórmula diz que a inclinação da curva \arctan em w é 1/(1+w^2).
  1. Derivada da tangente: para uma variável u,
\frac{d}{du}\big(\tan(u)\big)=\operatorname{sec}^{2}(u)=\frac{1}{\cos^{2}(u)}.
Ou seja, a taxa de variação da tangente é \operatorname{sec}^{2} do argumento.
  1. Derivada de x^{2} é simples:
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Vamos aplicar essas três etapas da cadeia uma após a outra, com cuidado para nomear cada nível de composição.

Passo 3

Faça as substituições para aplicar a regra da cadeia em três níveis:
  • Seja u(x)=x^{2}.
  • Seja w(u)=\tan(u).
  • Seja y(w)=\arctan(w).
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{dw}\cdot\frac{dw}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Agora substitui as derivadas que lembramos:
\frac{dy}{dw}=\frac{1}{1+w^{2}},\qquad \frac{dw}{du}=\operatorname{sec}^{2}(u),\qquad \frac{du}{dx}=2x.
Voltando às variáveis originais ( w=\tan(x^{2}) e u=x^{2}):
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\tan^{2}(x^{2})}\cdot \operatorname{sec}^{2}(x^{2})\cdot 2x.

Passo 4

Simplificação usando uma identidade trigonométrica muito útil:
1+\tan^{2}t=\operatorname{sec}^{2}t\quad\text{para todo }t\text{ onde estão definidas as funções.}ãçõ
Aplicando essa identidade com t=x^{2}, o fator \operatorname{sec}^{2}(x^{2}) no numerador cancela com 1+\tan^{2}(x^{2}) no denominador, ficando
\frac{dy}{dx}=2x.

Passo 5

Observações finais sobre domínio e rigor:
  • A simplificação algébrica mostra que, sempre que a composição estiver bem definida (isto é, sempre que \cos(x^{2})\neq0, para evitar pontos onde \tan(x^{2}) não existe), a derivada é 2x.
  • Em pontos onde \cos(x^{2})=0 a função y=\arctan(\tan(x^{2})) não está definida, logo não se fala em derivada ali.
  • Comentário conceitual: embora \arctan(\tan(u)) nem sempre seja igual a u globalmente (porque \arctan retorna o valor principal em (-{\pi}/{2},{\pi}/{2})), a identidade trigonométrica usada na derivação garante que, onde tudo é bem definido e suave, a derivada da composição reduz-se a 2x.

Resposta

y'=2x (para todos os x tais que \cos(x^{2})\neq0)

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