(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função composta
Informações relevantes dadas:
- A função é uma composição de três funções:
, depois e por fim . - É preciso atentar ao domínio:
não está definida quando , ou seja quando ( ). Portanto a composição só faz sentido quando . - O objetivo é calcular a derivada usando regras de diferenciação (cadeia, derivadas de
e de ) e simplificar.
Passo 2
Relembrando as regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa que derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
- Derivada da função arco-tangente: para uma variável
,
Aqui
é o argumento da
; a fórmula diz que a inclinação da curva
em
é
.
- Derivada da tangente: para uma variável
,
Ou seja, a taxa de variação da tangente é
do argumento.
- Derivada de
é simples:
Vamos aplicar essas três etapas da cadeia uma após a outra, com cuidado para nomear cada nível de composição.
Passo 3
Faça as substituições para aplicar a regra da cadeia em três níveis:
- Seja
. - Seja
. - Seja
.
Aplicando a regra da cadeia:
Agora substitui as derivadas que lembramos:
Voltando às variáveis originais (
e
):
Passo 4
Simplificação usando uma identidade trigonométrica muito útil:
Aplicando essa identidade com
, o fator
no numerador cancela com
no denominador, ficando
Passo 5
Observações finais sobre domínio e rigor:
- A simplificação algébrica mostra que, sempre que a composição estiver bem definida (isto é, sempre que
, para evitar pontos onde não existe), a derivada é . - Em pontos onde
a função não está definida, logo não se fala em derivada ali. - Comentário conceitual: embora
nem sempre seja igual a globalmente (porque retorna o valor principal em ), a identidade trigonométrica usada na derivação garante que, onde tudo é bem definido e suave, a derivada da composição reduz-se a .