(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a derivada
da função
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita em duas parcelas: a primeira é
e a segunda é . - A expressão envolve
e , portanto devemos ter e ; em termos de , o domínio útil é ou . - O objetivo: calcular
. Vou derivar cada parcela de forma explícita, tratando corretamente a derivada do valor absoluto.
Passo 2
Derivando a primeira parcela
.
Regra que usamos (cadeia + derivada do arcsen): se
então
Aqui
. Calculando
:
Agora o denominador da fórmula do arcsen:
pois
. Portanto
Simplificando
e cancelando
uma vez:
Observação: esse é exatamente
, isto é,
.
Passo 3
Derivando a segunda parcela
.
Para evitar contas longas com produto/quotiente diretos, uso diferenciação logarítmica (ou seja, escrevo
como exponencial de log). Defina
Então
Derivando ambos os lados (lembrando que
e, se
, então
):
Explico cada termo:
-
. -
(a fórmula foi usada com ). - Para
temos derivada .
Agora isolamos
:
Ou, condensando os termos:
Lembrando
, esta é a expressão explícita para
.
Passo 4
Agora juntamos as derivadas:
implica
Já temos
(veja Passo 2) e
(Passo 3). Assim
Simplificando:
Substituindo
, obtemos a forma final simplificada: