(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
y=\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{\ln (x)}\right)-\frac{1}{x|\ln (x)| \sqrt{\ln ^{2}(x)-1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função
y=\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{1}{\ln(x)}\right)-\frac{1}{x\,|\ln(x)|\sqrt{\ln^{2}(x)-1}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita em duas parcelas: a primeira é A(x)=\operatorname{arcsen}\!\big(\dfrac{1}{\ln x}\big) e a segunda é B(x)=\dfrac{1}{x\,|\ln x|\,\sqrt{\ln^{2}x-1}}.
  • A expressão envolve |\ln x| e \sqrt{\ln^{2}x-1}, portanto devemos ter \ln^{2}x-1\ge 0 e \ln x\neq 0; em termos de x, o domínio útil é 0<x\le e^{-1} ou x\ge e.
  • O objetivo: calcular y'=A'(x)-B'(x). Vou derivar cada parcela de forma explícita, tratando corretamente a derivada do valor absoluto.

Passo 2

Derivando a primeira parcela A(x)=\operatorname{arcsen}\!\big(\dfrac{1}{\ln x}\big).
Regra que usamos (cadeia + derivada do arcsen): se A(x)=\operatorname{arcsen}(u(x)) então
A'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}.
Aqui u(x)=\dfrac{1}{\ln x}. Calculando u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{\ln x}\right)=-\frac{1}{(\ln x)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =-\frac{1}{(\ln x)^{2}}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{1}{x(\ln x)^{2}}.
Agora o denominador da fórmula do arcsen:
\sqrt{1-u^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{(\ln x)^{2}}} =\sqrt{\frac{\ln^{2}x-1}{\ln^{2}x}} =\frac{\sqrt{\ln^{2}x-1}}{|\ln x|},
pois \sqrt{\ln^{2}x}=|\ln x|. Portanto
A'(x)=\frac{-\dfrac{1}{x(\ln x)^{2}}}{\dfrac{\sqrt{\ln^{2}x-1}}{|\ln x|}} =-\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\cdot\frac{|\ln x|}{\sqrt{\ln^{2}x-1}}.
Simplificando (\ln x)^{2}=|\ln x|^{2} e cancelando |\ln x| uma vez:
A'(x)=-\frac{1}{x\,|\ln x|\,\sqrt{\ln^{2}x-1}}.
Observação: esse é exatamente -B(x), isto é, A'(x)=-B(x).

Passo 3

Derivando a segunda parcela B(x)=\dfrac{1}{x\,|\ln x|\,\sqrt{\ln^{2}x-1}}.
Para evitar contas longas com produto/quotiente diretos, uso diferenciação logarítmica (ou seja, escrevo B como exponencial de log). Defina
g(x)=B(x)=\frac{1}{x\,|\ln x|\,\sqrt{\ln^{2}x-1}}.
Então
\ln g(x)=-\ln x-\ln|\ln x|-\ln\!\big(\sqrt{\ln^{2}x-1}\big).
Derivando ambos os lados (lembrando que \dfrac{d}{dx}\ln|\ln x|=\dfrac{1}{\ln x}\cdot\dfrac{1}{x} e, se r(x)=\sqrt{\ln^{2}x-1}, então \dfrac{d}{dx}\ln r(x)=\dfrac{r'(x)}{r(x)}):
\frac{g'(x)}{g(x)}=-\frac{1}{x}-\frac{1}{x\ln x}-\frac{1}{x}\cdot\frac{\ln x}{\ln^{2}x-1}.
Explico cada termo:
  • \dfrac{d}{dx}(-\ln x)=-\dfrac{1}{x}.
  • \dfrac{d}{dx}(-\ln|\ln x|)=-\dfrac{1}{\ln x}\cdot\dfrac{1}{x} (a fórmula \dfrac{d}{dx}\ln|u|=u'/u foi usada com u=\ln x).
  • Para -\ln\big(\sqrt{\ln^{2}x-1}\big)=-\tfrac{1}{2}\ln(\ln^{2}x-1) temos derivada -\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2\ln x\cdot(1/x)}{\ln^{2}x-1}=-\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{\ln x}{\ln^{2}x-1}.
Agora isolamos g'(x):
g'(x)=g(x)\cdot\left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{x\ln x}-\frac{1}{x}\cdot\frac{\ln x}{\ln^{2}x-1}\right).
Ou, condensando os termos:
g'(x)=-\frac{g(x)}{x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{\ln x}{\ln^{2}x-1}\right).
Lembrando g(x)=B(x)=\dfrac{1}{x\,|\ln x|\,\sqrt{\ln^{2}x-1}}, esta é a expressão explícita para B'(x).

Passo 4

Agora juntamos as derivadas: y(x)=A(x)-B(x) implica
y'(x)=A'(x)-B'(x).
Já temos A'(x)=-g(x) (veja Passo 2) e B'(x)=g'(x) (Passo 3). Assim
y'(x)=-g(x)-g'(x)=-g(x)-\left(-\frac{g(x)}{x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{\ln x}{\ln^{2}x-1}\right)\right).
Simplificando:
y'(x)=-g(x)+\frac{g(x)}{x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{\ln x}{\ln^{2}x-1}\right) = g(x)\left(-1+\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{\ln x}{\ln^{2}x-1}\right)\right).
Substituindo g(x)=\dfrac{1}{x\,|\ln x|\,\sqrt{\ln^{2}x-1}}, obtemos a forma final simplificada:
y'(x)=\frac{1+\dfrac{1}{\ln x}+\dfrac{\ln x}{\ln^{2}x-1}-x}{x^{2}\,|\ln x|\,\sqrt{\ln^{2}x-1}}.

Resposta

y'(x)=\frac{1+\dfrac{1}{\ln x}+\dfrac{\ln x}{\ln^{2}x-1}-x}{x^{2}\,|\ln x|\,\sqrt{\ln^{2}x-1}}.

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