(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada
da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A notação
corresponde ao seno hiperbólico, que em LaTeX será escrito . - Assim a função pode ser reescrita (colocando os fatores em ordem) como
O que se pede: calcular a derivada dessa soma termo a termo.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (aulas rápidas):
- Derivada da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, derivate por termo.
- Regra do produto (produto de duas funções): se
e são funções, . - Para produto de mais de dois fatores, pode-se aplicar a regra do produto repetidamente ou usar a versão generalizada: derivar um fator de cada vez e somar os termos correspondentes.
- Derivadas das funções hiperbólicas básicas:
- Identidades hiperbólicas úteis (para simplificar depois):
Passo 3
Vamos derivar termo a termo. Primeiro identifco quatro termos:
Derivada do termo
. Use a regra do produto com
e
.
Portanto
Passo 4
Derivada do termo
. Escrevemos
. O fator
é constante e sai fora da derivada. Defina
. Primeiro:
Agora aplique a regra do produto em
:
Multiplicando pelo
,
Passo 5
Derivada do termo
. Novamente regra do produto com
e
:
Logo
Passo 6
Derivada do termo
:
Passo 7
Somando as derivadas parciais
:
Agora organizamos e simplificamos agrupando termos semelhantes.
Agrupando os termos com
:
Agrupando os termos proporcionais a
:
Usando
, isso vira
Os termos restantes são
pois
.
Reunindo tudo: