(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
y=x^{2} \operatorname{cosh} (x)+\operatorname{senh}(x) 2 x \operatorname{cosh} (x)+x^{2} \operatorname{senh}(x)+\operatorname{cosh} (x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada \displaystyle f'(x)=\frac{dy}{dx} da função dada. A função fornecida é
y = x^{2}\operatorname{cosh}(x) + \operatorname{senh}(x)\,2x\operatorname{cosh}(x) + x^{2}\operatorname{senh}(x) + \operatorname{cosh}(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A notação \operatorname{senh}(x) corresponde ao seno hiperbólico, que em LaTeX será escrito \operatorname{sinh}(x).
  • Assim a função pode ser reescrita (colocando os fatores em ordem) como
y = x^{2}\operatorname{cosh}(x) + 2x\,\operatorname{sinh}(x)\operatorname{cosh}(x) + x^{2}\operatorname{sinh}(x) + \operatorname{cosh}(x).
O que se pede: calcular a derivada dessa soma termo a termo.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (aulas rápidas):
  • Derivada da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, derivate por termo.
  • Regra do produto (produto de duas funções): se u(x) e v(x) são funções, \displaystyle (u v)' = u' v + u v'.
  • Para produto de mais de dois fatores, pode-se aplicar a regra do produto repetidamente ou usar a versão generalizada: derivar um fator de cada vez e somar os termos correspondentes.
  • Derivadas das funções hiperbólicas básicas: \frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{sinh}(x),\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x).
  • Identidades hiperbólicas úteis (para simplificar depois): \operatorname{sinh}(2x)=2\operatorname{sinh}(x)\operatorname{cosh}(x),\qquad \operatorname{cosh}(2x)=\operatorname{cosh}^{2}(x)+\operatorname{sinh}^{2}(x).

Passo 3

Vamos derivar termo a termo. Primeiro identifco quatro termos:
T_1 = x^{2}\operatorname{cosh}(x),\quad T_2 = 2x\,\operatorname{sinh}(x)\operatorname{cosh}(x),\quad T_3 = x^{2}\operatorname{sinh}(x),\quad T_4 = \operatorname{cosh}(x).
Derivada do termo T_1. Use a regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=\operatorname{cosh}(x).
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=\operatorname{sinh}(x).
Portanto
T_1' = (x^{2}\operatorname{cosh} x)' = 2x\operatorname{cosh}(x) + x^{2}\operatorname{sinh}(x).

Passo 4

Derivada do termo T_2. Escrevemos T_2 = 2\bigl(x\cdot(\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x)\bigr). O fator 2 é constante e sai fora da derivada. Defina w(x)=\operatorname{sinh}(x)\operatorname{cosh}(x). Primeiro:
w'(x) = (\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x)' = (\operatorname{sinh} x)'\operatorname{cosh} x + \operatorname{sinh} x(\operatorname{cosh} x)' = \operatorname{cosh}^{2}(x) + \operatorname{sinh}^{2}(x).
Agora aplique a regra do produto em x\cdot w(x):
(x w(x))' = 1\cdot w(x) + x\cdot w'(x) = \operatorname{sinh}(x)\operatorname{cosh}(x) + x\bigl(\operatorname{cosh}^{2}(x)+\operatorname{sinh}^{2}(x)\bigr).
Multiplicando pelo 2,
T_2' = 2\bigl(\operatorname{sinh}(x)\operatorname{cosh}(x)\bigr) + 2x\bigl(\operatorname{cosh}^{2}(x)+\operatorname{sinh}^{2}(x)\bigr).

Passo 5

Derivada do termo T_3. Novamente regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=\operatorname{sinh}(x):
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=\operatorname{cosh}(x).
Logo
T_3' = (x^{2}\operatorname{sinh} x)' = 2x\operatorname{sinh}(x) + x^{2}\operatorname{cosh}(x).

Passo 6

Derivada do termo T_4:
T_4' = (\operatorname{cosh} x)' = \operatorname{sinh}(x).

Passo 7

Somando as derivadas parciais T_1'+T_2'+T_3'+T_4':
\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \bigl(2x\operatorname{cosh} x + x^{2}\operatorname{sinh} x\bigr) \\\ &\quad + \bigl(2\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x + 2x(\operatorname{cosh}^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}x)\bigr) \\\ &\quad + \bigl(2x\operatorname{sinh} x + x^{2}\operatorname{cosh} x\bigr) \\\ &\quad + \operatorname{sinh} x. \end{aligned}
Agora organizamos e simplificamos agrupando termos semelhantes.
Agrupando os termos com x^{2}:
x^{2}\operatorname{sinh} x + x^{2}\operatorname{cosh} x = x^{2}\bigl(\operatorname{sinh} x + \operatorname{cosh} x\bigr).
Agrupando os termos proporcionais a 2x:
2x\operatorname{cosh} x + 2x(\operatorname{cosh}^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}x) + 2x\operatorname{sinh} x = 2x\bigl(\operatorname{cosh} x + \operatorname{sinh} x + \operatorname{cosh}^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}x\bigr).
Usando \operatorname{cosh}^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}x=\operatorname{cosh}(2x), isso vira
2x\bigl(\operatorname{cosh} x + \operatorname{sinh} x + \operatorname{cosh}(2x)\bigr).
Os termos restantes são
2\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x + \operatorname{sinh} x = \operatorname{sinh}(2x) + \operatorname{sinh} x,
pois \operatorname{sinh}(2x)=2\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x.
Reunindo tudo:
\boxed{\frac{dy}{dx}=x^{2}\bigl(\operatorname{sinh} x+\operatorname{cosh} x\bigr)+2x\bigl(\operatorname{sinh} x+\operatorname{cosh} x+\operatorname{cosh}(2x)\bigr)+\operatorname{sinh}(2x)+\operatorname{sinh} x.}

Resposta

\frac{dy}{dx}=x^{2}\bigl(\operatorname{sinh} x+\operatorname{cosh} x\bigr)+2x\bigl(\operatorname{sinh} x+\operatorname{cosh} x+\operatorname{cosh}(2x)\bigr)+\operatorname{sinh}(2x)+\operatorname{sinh} x.

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