(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dada a função
definida por
- O que se pede: calcular a derivada
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função envolve produtos de
, potências de e a raiz . - Vai ser preciso usar regra do produto, regra da cadeia e a derivada de
.
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (com explicação didática):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isto significa: derive a primeira mantendo a segunda, somando a primeira mantendo a segunda derivada.
- Regra da cadeia: se
, então
Ou seja, deriva-se a função externa em relação à interna e multiplica-se pela derivada da interna.
- Derivada de
obtida por diferenciação implícita: seja . Então . Derivando ambos os lados em relação a (diferença implícita),
Como
, temos
Essa é a fórmula essencial para derivar potências de
.
- Derivada da raiz: para
, usando regra da cadeia,
Passo 3
Para simplificar a notação durante a conta, defino
Então a função fica
Irei derivar termo a termo.
Passo 4
Derivando o primeiro termo
usando a regra do produto:
- Aqui
e . -
. -
pela regra da cadeia, e sabemos que .
Portanto,
Passo 5
Derivando o segundo termo
:
Passo 6
Derivando o terceiro termo
. Trata-se de um produto entre
e
.
Aplicando regra do produto:
Agora cada parte:
- Já vimos que
. - E
.
Substituindo,
Observe que na segunda parcela a
cancela com
, ficando simplesmente
. Assim
Passo 7
Agora somamos as derivadas dos três termos (Passos 4, 5 e 6):
Agrupando termos semelhantes:
- Termos em
: . - Termos com fator
: . - Termo constante:
.
Portanto
Volto à notação original
substituindo
.