(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
x(\operatorname{arcsen}(x))^{2}-2 x+2 \sqrt{1-x^{2}} \operatorname{arcsen}(x)(\operatorname{arcsen}(x))^{2}

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dada a função y=f(x) definida por
y = x\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)^{2}-2x+2\sqrt{1-x^{2}}\;\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)^{3}.
  • O que se pede: calcular a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função envolve produtos de x, potências de \operatorname{arcsen}(x) e a raiz \sqrt{1-x^{2}}.
  • Vai ser preciso usar regra do produto, regra da cadeia e a derivada de \operatorname{arcsen}(x).

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
Isto significa: derive a primeira mantendo a segunda, somando a primeira mantendo a segunda derivada.
  • Regra da cadeia: se h(x)=F(g(x)), então
h'(x)=F'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa em relação à interna e multiplica-se pela derivada da interna.
  • Derivada de \operatorname{arcsen}(x) obtida por diferenciação implícita: seja y=\operatorname{arcsen}(x). Então \sin y=x. Derivando ambos os lados em relação a x (diferença implícita),
\cos y\;\frac{dy}{dx}=1.
Como \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad |x|<1.
Essa é a fórmula essencial para derivar potências de \operatorname{arcsen}(x).
  • Derivada da raiz: para r(x)=\sqrt{1-x^{2}}=(1-x^{2})^{1/2}, usando regra da cadeia,
r'(x)=\tfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 3

Para simplificar a notação durante a conta, defino
s(x)=\operatorname{arcsen}(x).
Então a função fica
y = x\,s^{2}-2x+2\sqrt{1-x^{2}}\,s^{3}.
Irei derivar termo a termo.

Passo 4

Derivando o primeiro termo x\,s^{2} usando a regra do produto:
  • Aqui u(x)=x e v(x)=s^{2}.
  • u'(x)=1.
  • v'(x)=2s\cdot s'(x) pela regra da cadeia, e sabemos que s'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(x\,s^{2}\bigr)=1\cdot s^{2}+x\cdot 2s\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} = s^{2}+\frac{2x s}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 5

Derivando o segundo termo -2x:
\frac{d}{dx}(-2x)=-2.

Passo 6

Derivando o terceiro termo 2\sqrt{1-x^{2}}\,s^{3}. Trata-se de um produto entre A(x)=2\sqrt{1-x^{2}} e B(x)=s^{3}.
Aplicando regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{1-x^{2}}\,s^{3}\bigr)=2\Bigl(\sqrt{1-x^{2}}\Bigr)'\,s^{3}+2\sqrt{1-x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(s^{3}\bigr).
Agora cada parte:
  • Já vimos que \bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr)'=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • E \dfrac{d}{dx}\bigl(s^{3}\bigr)=3s^{2}\cdot s'(x)=3s^{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Substituindo,
\frac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{1-x^{2}}\,s^{3}\bigr) =2\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)s^{3}+2\sqrt{1-x^{2}}\cdot 3s^{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Observe que na segunda parcela a \sqrt{1-x^{2}} cancela com \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, ficando simplesmente 3s^{2}. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{1-x^{2}}\,s^{3}\bigr) = -\frac{2x s^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}+6s^{2}.

Passo 7

Agora somamos as derivadas dos três termos (Passos 4, 5 e 6):
f'(x)=\bigl(s^{2}+\frac{2x s}{\sqrt{1-x^{2}}}\bigr) + (-2) + \bigl(-\frac{2x s^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}+6s^{2}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
  • Termos em s^{2}: s^{2}+6s^{2}=7s^{2}.
  • Termos com fator \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^{2}}}: \dfrac{2x s}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{2x s^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^{2}}}\bigl(s-s^{3}\bigr).
  • Termo constante: -2.
Portanto
f'(x)=7s^{2}-2+\frac{2x}{\sqrt{1-x^{2}}}\bigl(s-s^{3}\bigr).
Volto à notação original \operatorname{arcsen}(x) substituindo s=\operatorname{arcsen}(x).

Resposta

f'(x)=7\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)^{2}-2+\frac{2x}{\sqrt{1-x^{2}}}\Bigl(\operatorname{arcsen}(x)-\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)^{3}\Bigr)

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