(Taxas de variação) Suponhamos que uma partícula se mova em linha reta e sua posição em função do tempo é dada por
.
(a) Qual a variação média da posição no intervalo
(b) Qual a taxa de variação da posição em
(c) Qual a taxa de variação da posição em um instante
qualquer? O que ele representa?
(d) Determine a aceleração em cada instante
(c)
; representa a velocidade da partícula em um instante
qualquer.
(a) Qual a variação média da posição no intervalo
(b) Qual a taxa de variação da posição em
(c) Qual a taxa de variação da posição em um instante
(d) Determine a aceleração em cada instante
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo
As perguntas são:
- (a) Qual a variação média da posição no intervalo
? - (b) Qual a taxa de variação da posição em
? - (c) Qual a taxa de variação da posição em um instante
qualquer? O que ela representa? - (d) Determine a aceleração em cada instante
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A função posição é
. - O intervalo para (a) é
. - Os pedidos envolvem variação média (intervalo finito), taxa de variação instantânea (derivada) e aceleração (segunda derivada).
Passo 2
Definição e cálculo da variação média (parte a).
- Lembrete/fórmula: a variação média de uma função
no intervalo é
onde
é a variação da posição e
é a duração do intervalo.
- Aplicando com
e : - Calcular
:
- Calcular
:
- Variação da posição:
- Duração do intervalo:
- Variação média:
- Calcular
Interpretação rápida: em média, entre
e
a partícula avança
unidades de posição por unidade de tempo.
Passo 3
Definição da taxa de variação instantânea (derivada) e como calculá-la: limite do quociente incremental.
- Lembrete/fórmula: a taxa de variação instantânea de
em é
que é a definição de derivada de
em
. Esse
é a velocidade instantânea.
- Vamos calcular esse limite para
. Primeiro computa-se o quociente incremental:
Dividindo por
(para
):
Agora toma-se o limite
:
Portanto a taxa de variação instantânea geral é
.
Passo 4
Aplicar o resultado de
para responder (b) e interpretar o resultado (parte b e c).
- Para
:
Logo a taxa de variação da posição em
é
.
- Interpretação do que
representa: -
é a velocidade instantânea — ou seja, a taxa de variação da posição no instante . Fisicamente, mede quão rápido e em que sentido a partícula desloca-se naquele instante. - Se
a partícula está se deslocando no sentido positivo; se no sentido negativo. - Exemplo concreto:
significa que no instante a partícula já tem velocidade (não parte do repouso).
-
Passo 5
Definição de aceleração e cálculo da aceleração (parte d).
- Lembrete/fórmula: a aceleração
é a derivada da velocidade em função do tempo, ou a segunda derivada da posição:
- Temos
. Derivando: - A derivada de
em relação a é (regra: derivada de é ). - A derivada de uma constante
é . - Assim
- A derivada de
Portanto a aceleração é constante e igual a
para todo
. Física: isso significa que a velocidade aumenta linearmente com taxa constante
(unidades de velocidade por unidade de tempo).
Resposta
(a)
(b)
(c) . Representa a velocidade instantânea (taxa de variação da posição no instante
).
(d)
(b)
(c)
(d)