(Taxas de variação) Suponhamos que uma partícula se mova em linha reta e sua posição em função do tempo é dada por s(t)=t^{2}+2 t.
(a) Qual a variação média da posição no intervalo [1,3] ? \quad 6
(b) Qual a taxa de variação da posição em t=2 ? 6
(c) Qual a taxa de variação da posição em um instante t qualquer? O que ele representa?
(d) Determine a aceleração em cada instante t .2 (c) 2 t+2; representa a velocidade da partícula em um instante t qualquer.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo
s(t)=t^{2}+2t.
As perguntas são:
  • (a) Qual a variação média da posição no intervalo [1,3]?
  • (b) Qual a taxa de variação da posição em t=2?
  • (c) Qual a taxa de variação da posição em um instante t qualquer? O que ela representa?
  • (d) Determine a aceleração em cada instante t.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A função posição é \,s(t)=t^{2}+2t.
  • O intervalo para (a) é [1,3].
  • Os pedidos envolvem variação média (intervalo finito), taxa de variação instantânea (derivada) e aceleração (segunda derivada).

Passo 2

Definição e cálculo da variação média (parte a).
  • Lembrete/fórmula: a variação média de uma função s(t) no intervalo [a,b] é
\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a},
onde \Delta s é a variação da posição e \Delta t é a duração do intervalo.
  • Aplicando com a=1 e b=3:
    • Calcular s(3):
    s(3)=3^{2}+2\cdot 3=9+6=15.
    • Calcular s(1):
    s(1)=1^{2}+2\cdot 1=1+2=3.
    • Variação da posição:
    s(3)-s(1)=15-3=12.
    • Duração do intervalo:
    3-1=2.
    • Variação média:
    \frac{s(3)-s(1)}{3-1}=\frac{12}{2}=6.
Interpretação rápida: em média, entre t=1 e t=3 a partícula avança 6 unidades de posição por unidade de tempo.

Passo 3

Definição da taxa de variação instantânea (derivada) e como calculá-la: limite do quociente incremental.
  • Lembrete/fórmula: a taxa de variação instantânea de s em t é
v(t)=\lim_{h\to0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h},
que é a definição de derivada de s em t. Esse v(t) é a velocidade instantânea.
  • Vamos calcular esse limite para s(t)=t^{2}+2t. Primeiro computa-se o quociente incremental:
s(t+h)= (t+h)^{2}+2(t+h)=t^{2}+2th+h^{2}+2t+2h.
s(t+h)-s(t)=\bigl(t^{2}+2th+h^{2}+2t+2h\bigr)-\bigl(t^{2}+2t\bigr)=2th+h^{2}+2h.
Dividindo por h (para h\neq0):
\frac{s(t+h)-s(t)}{h}= \frac{2th+h^{2}+2h}{h}=2t+h+2.
Agora toma-se o limite h\to0:
v(t)=\lim_{h\to0}\bigl(2t+h+2\bigr)=2t+2.
Portanto a taxa de variação instantânea geral é v(t)=2t+2.

Passo 4

Aplicar o resultado de v(t) para responder (b) e interpretar o resultado (parte b e c).
  • Para t=2:
v(2)=2\cdot 2+2=4+2=6.
Logo a taxa de variação da posição em t=2 é 6.
  • Interpretação do que v(t)=2t+2 representa:
    • v(t) é a velocidade instantânea — ou seja, a taxa de variação da posição no instante t. Fisicamente, mede quão rápido e em que sentido a partícula desloca-se naquele instante.
    • Se v(t)>0 a partícula está se deslocando no sentido positivo; se v(t)<0 no sentido negativo.
    • Exemplo concreto: v(0)=2 significa que no instante t=0 a partícula já tem velocidade 2 (não parte do repouso).

Passo 5

Definição de aceleração e cálculo da aceleração (parte d).
  • Lembrete/fórmula: a aceleração a(t) é a derivada da velocidade em função do tempo, ou a segunda derivada da posição:
a(t)=v'(t)=s''(t).
  • Temos v(t)=2t+2. Derivando:
    • A derivada de 2t em relação a t é 2 (regra: derivada de kt é k).
    • A derivada de uma constante 2 é 0.
    • Assim
a(t)=\frac{d}{dt}(2t+2)=2.
Portanto a aceleração é constante e igual a 2 para todo t. Física: isso significa que a velocidade aumenta linearmente com taxa constante 2 (unidades de velocidade por unidade de tempo).

Resposta

(a) 6
(b) 6
(c) v(t)=2t+2. Representa a velocidade instantânea (taxa de variação da posição no instante t).
(d) a(t)=2

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