Derivada de constantes e funções polinomiais
f(x)=5 x^{5}-x^{3}+2 x-8

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função polinomial
f(x) = 5x^{5} - x^{3} + 2x - 8
Para isso, vamos usar duas regras básicas de diferenciação:
  1. Regra da linearidade: a derivada de soma é a soma das derivadas, e constantes podem ser colocadas em fator.
  2. Regra do poder: para n\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}\,.
Além disso, a derivada de uma constante é zero.

Passo 2

Aplicamos a linearidade do operador derivada a cada termo de f(x). Escrevemos
f(x)=5\,x^{5}+(-1)\,x^{3}+2\,x+(-8)
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f'(x)=5\cdot\frac{d}{dx}(x^{5}) \;+\;(-1)\cdot\frac{d}{dx}(x^{3}) \;+\;2\cdot\frac{d}{dx}(x)\;+\;\frac{d}{dx}(-8)\,.

Passo 3

Usamos a regra do poder e a regra da constante:
  • \frac{d}{dx}(x^{5})=5x^{4}
  • \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}
  • \frac{d}{dx}(x)=1
  • \frac{d}{dx}(-8)=0

Passo 4

Substituímos esses resultados em f'(x):
f'(x)=5\cdot(5x^{4}) + (-1)\cdot(3x^{2}) + 2\cdot1 + 0 =25x^{4} - 3x^{2} + 2.

Resposta

f'(x)=25x^{4}-3x^{2}+2

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